Matemática (51) · Unidad 6 — Integrales
Hallar parámetros y aplicaciones de la integral
Acá la integral deja de ser el resultado y pasa a ser un dato: te dicen cuánto tiene que dar y hay que encontrar el parámetro, o te dan una aceleración y hay que llegar a la posición. En los dos casos la integral se usa al revés.
La explicación
Cuando la integral es el dato
El ejercicio típico de parcial no pide calcular una integral: pide hallar el valor de una letra para que la integral valga algo. El procedimiento es siempre el mismo, y lo importante es que el parámetro se arrastra como si fuera un número durante toda la cuenta.
2. Aplicá Barrow. Te queda una expresión con la letra adentro.
3. Igualá al valor que pide el enunciado. Ahora es una ecuación común.
4. Despejá y descartá las soluciones imposibles: si el parámetro es un extremo de integración, tiene que respetar el orden y el dominio.
5. Reemplazá el valor hallado y verificá que la condición se cumple.
Los dos lugares donde puede estar el parámetro
- En el integrando: ∫(ax² + 6) dx. Sale afuera multiplicando y la ecuación final es lineal en a.
- En un extremo: ∫ de 1 a a. Acá la letra queda adentro de la primitiva, y la ecuación puede ser cuadrática, con raíz o con logaritmo. Ojo con las soluciones de más.
Cuando el parámetro es un extremo, hay que revisar que el resultado tenga sentido: un extremo negativo cuando la función no está definida ahí, o un a menor que el otro extremo cuando el enunciado pedía un intervalo, se descartan.
Leer un área de un gráfico
Si te dicen que cierta región sombreada mide 10 y esa región está debajo del eje, la integral correspondiente vale −10. Con ese dato y las propiedades del tema 6.4 se calcula todo lo demás, sin conocer la fórmula de la función:
Ese último término es el área del rectángulo de base b − a y altura m: es el que más se olvida.
De la aceleración a la posición
Es la aplicación física de todo el tema, y usa que la derivada de la posición es la velocidad, y la de la velocidad es la aceleración. Integrando se recorre el camino inverso:
Cada integración trae una constante, y cada constante se despeja con un dato inicial: la velocidad inicial fija la primera, la posición inicial la segunda. Por eso los enunciados siempre dan v(0) y x(0): sin ellos el problema no tiene una única respuesta.
2. Usá el dato de velocidad (casi siempre en t = 0) para despejar C1.
3. Integrá la v(t) ya completa y llamá C2 a la nueva constante.
4. Usá el dato de posición para despejar C2.
5. Recién ahí contestá lo que preguntan.
Y una lectura que aparece seguido: la integral definida de la velocidad entre dos instantes es el desplazamiento en ese lapso, o sea x(t2) − x(t1). Es Barrow aplicado a la física.
El control
Siempre el mismo y siempre barato: reemplazá el valor que hallaste y comprobá que la condición del enunciado se cumple. Si pedían que la integral diera 0 y con tu a da 0, terminaste. Si da otra cosa, el error está en la cuenta y no en el planteo.
Hallar a > 0 tal que la integral definida de 2x + 1 entre 0 y a valga 6.
Planteo: el parámetro está en el extremo de arriba, así que la integral va a quedar como una expresión en a, y de ahí sale una ecuación.
Integro normalmente:
Aplico Barrow con el extremo de arriba sin número:
Igualo al valor pedido y resuelvo la ecuación, que quedó cuadrática:
Descarto la que no sirve. El enunciado pide a > 0, así que a = 2. (La solución a = −3 no es un error de cuenta: es una solución legítima de la ecuación que el enunciado descarta. Por eso siempre conviene mirar la condición sobre el parámetro antes de contestar.)
Control: reemplazo y verifico que la condición se cumple.
Dónde se pierde el punto: entregar las dos soluciones sin mirar la condición, o quedarse con la negativa. Y no hacer el control, que acá cuesta diez segundos.
Un móvil tiene aceleración a(t) = 4t + 2 (en m/s^2). En t = 0 su velocidad es 3 m/s y su posición es 0. Hallar la velocidad en t = 2 y la posición en t = 3.
Planteo: me dan la aceleración y quieren posición, así que hay que integrar dos veces, y cada integración necesita su dato inicial para fijar la constante.
Primera integración: de a a v.
El primer dato. v(0) = 3, y en t = 0 los dos términos con t se anulan:
v(t) = 2t² + 2t + 3
Lo que pide primero: v(2) = 2·4 + 2·2 + 3 = 8 + 4 + 3 = 15 m/s.
Segunda integración: de v a x. Ahora se integra la velocidad completa, con el 3 incluido:
El segundo dato. x(0) = 0 hace que C2 = 0, así que x(t) = 2t³/3 + t² + 3t.
Lo que pide después:
Control por otro camino: como x(0) = 0, la posición en t = 3 también es el desplazamiento, o sea la integral de la velocidad entre 0 y 3. Calculándola directo: ∫03(2t² + 2t + 3) dt = 18 + 9 + 9 = 36 ✔ Y un control de razonabilidad: la velocidad media en esos 3 s anda por los 12 m/s, así que 36 m está en el orden correcto.
Dónde se pierde el punto: integrar la aceleración dos veces seguidas sin meter C1 en el medio. Si arrastrás la velocidad sin el 3, la posición te queda 9 metros más corta y todo lo demás está bien hecho.
Dónde se cae la mayoría
- Sacar el parámetro afuera de la integral cuando está sumando, no multiplicando.
- Quedarse con una solución imposible al despejar el extremo: hay que descartar las que caen fuera del dominio.
- Al integrar una constante m en [a, b], olvidarse de multiplicarla por la longitud del intervalo.
- En cinemática, usar el dato de posición inicial para despejar la constante de la velocidad.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Hallar parámetros y aplicaciones de la integral →Los otros temas de la unidad 6
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