Matemática (51) · Unidad 6 — Integrales
Área entre curvas
El área entre dos curvas se calcula integrando la de arriba menos la de abajo. Todo el trabajo del ejercicio está en dos preguntas previas: entre qué valores, y cuál es la de arriba en cada tramo.
La explicación
La idea, en un rectangulito
Pensá la región cortada en tiras verticales finitas. Cada tira tiene ancho dx y altura igual a la diferencia entre las dos curvas: la de arriba menos la de abajo. Sumando todas las tiras:
Fijate que esta fórmula no se fija en el signo de las funciones: aunque las dos estén debajo del eje x, la resta de las alturas sigue siendo positiva y el área sale bien. Lo que importa es cuál está más arriba, no si son positivas.
El método completo
2. Decidí cuál va arriba en cada tramo: elegí un valor de adentro del tramo y evaluá las dos. La que da más grande es la de arriba.
3. Integrá la de arriba menos la de abajo entre los cortes.
4. Si se cruzan en el medio, partí en cada corte y sumá las áreas de todos los tramos.
5. Controlá que el resultado sea positivo.
Por qué hay que probar un valor de adentro
Es el paso que todo el mundo saltea, y es el que decide el signo. No alcanza con «la parábola siempre está arriba»: eso depende del tramo. Con evaluar las dos funciones en un punto interior ya está, y son diez segundos de cuenta.
Si al final te da un área negativa, no la corrijas cambiándole el signo a mano: significa que las diste vuelta, y conviene entenderlo porque en otro tramo el error puede no ser tan visible.
Cuando se cruzan: hay que partir
Si las curvas se cortan en tres puntos, hay dos tramos y en cada uno manda una distinta. Integrar de una sola vez de un extremo al otro no da el área: los pedazos se restan entre sí, igual que pasaba con una sola función que cambia de signo.
Una curva con el eje x
Es el mismo caso con g(x) = 0. Los límites son las raíces de f, y si f es negativa en el intervalo, la de arriba es el eje: el integrando es 0 − f(x) = −f(x).
Regiones limitadas por tres curvas
Cuando el enunciado da tres gráficos, la región tiene un «vértice» donde cambia el techo o el piso. La receta es siempre la misma: hacer un dibujo aproximado, hallar todos los cortes entre pares de curvas, y partir la integral en el valor de x donde cambia quién limita la región.
Los controles
Dos, y los dos son rápidos. Primero, el signo: un área siempre es positiva. Segundo, el tamaño: encerrá la región mentalmente en un rectángulo y calculá su área; la tuya tiene que ser menor. Si la región es un triángulo, mejor todavía, porque ahí el área exacta se calcula con base por altura sobre dos y te sirve de verificación independiente.
Calcular el área de la región encerrada entre las gráficas de f(x) = x + 2 y g(x) = x^2.
Planteo: no me dan el intervalo, así que los límites salen de los puntos de corte.
Puntos de corte: igualo las dos funciones.
Quién va arriba. Pruebo con un valor de adentro, por ejemplo x = 0:
Como sólo hay dos cortes y entre ellos no se vuelven a tocar, la recta va arriba en todo el tramo: no hace falta partir.
Se plantea y se integra la de arriba menos la de abajo:
F(2) = 2 + 4 − 8/3 = 10/3 · F(−1) = 1/2 − 2 + 1/3 = −7/6
Controles: dio positiva ✔ Y el tamaño: la región entra en un rectángulo de base 3 (de −1 a 2) y altura 2,25 (la máxima distancia entre las curvas, que se da en x = 0,5), o sea 6,75. Nuestro 4,5 es menor ✔
Dónde se pierde el punto: restar x² − (x+2) y entregar −4,5. Y al evaluar F(−1), equivocar el signo de (−1)³: el cubo de un negativo es negativo, y al restarlo cambia otra vez.
Calcular el área de la región que queda encerrada entre la cúbica f(x) = x^3 y la recta g(x) = 9x.
Planteo: dos curvas sin intervalo dado, así que van los cortes. Y ojo, que una cúbica y una recta se pueden cortar hasta en tres puntos.
Puntos de corte:
Tres cortes significan dos tramos, y hay que revisar cada uno por separado: [−3, 0] y [0, 3].
Quién va arriba en cada tramo. Pruebo con x = −1 y con x = 1:
en x = 1: f = 1 · g = 9 → la recta está arriba
Se dan vuelta, como era de esperar. Si integrara de −3 a 3 de una sola vez, los dos pedazos se cancelarían y me daría 0.
Cada tramo por separado:
Control por simetría: f(x) = x³ y g(x) = 9x son las dos impares, así que la región de la izquierda es la de la derecha rotada media vuelta alrededor del origen, y las dos tienen que medir lo mismo. Nos dio 81/4 y 81/4 ✔ Si te hubieran dado distinto, hay un error seguro en uno de los dos.
Dónde se pierde el punto: integrar de −3 a 3 sin partir. Da 0 y parece prolijo, pero la región claramente tiene superficie.
Dónde se cae la mayoría
- Integrar sin haber hallado los puntos de corte, usando límites inventados.
- Restar al revés y entregar un área negativa, o corregirla cambiándole el signo sin revisar el planteo.
- Cuando las curvas se cruzan en el medio, integrar de un extremo al otro de una sola vez: los pedazos se cancelan.
- Suponer que si las funciones son negativas el área también lo es: la resta de alturas no mira el signo de las funciones.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Área entre curvas →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Por partes, Barrow y el área20 puntos · resuelto paso a paso
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