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Álgebra (27) del CBC, tema por tema

Álgebra (27) es la de Ciencias Exactas: la cursan Computación, Ciencias de Datos, Matemática, Física, Química y el resto de las licenciaturas y profesorados de la facultad. No es la misma materia que Álgebra A (62), la de Ingeniería, aunque compartan el nombre: ésta es más abstracta. Empieza con cuentas conocidas —vectores, sistemas, matrices— y a mitad del cuatrimestre pasa a espacios vectoriales y transformaciones lineales, donde lo que se pide ya no es un número sino una justificación: probar que algo es un subespacio, encontrar una base, decidir si una transformación es un isomorfismo.

Abajo está el programa entero, en el orden de las prácticas: vectores, rectas y planos; sistemas lineales y matrices; determinantes; espacios vectoriales; transformaciones lineales; números complejos y polinomios, y diagonalización. Cada tema tiene su página con la explicación completa, un ejemplo resuelto paso a paso y los errores típicos, y de ahí se pasa a practicar con corrección en cada paso.

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Unidad 1 — Vectores, rectas y planos

  • 1.1 Vectores y operacionesUn vector es a la vez una flecha y una lista de números. Todo lo de esta unidad sale de poder saltar de una lectura a la otra.
  • 1.2 Producto escalar y ánguloEl producto escalar convierte una pregunta geométrica —qué ángulo forman— en una suma de productos. Y detecta perpendicularidad sin calcular nada.
  • 1.3 Producto vectorial y mixtoEl producto vectorial devuelve un vector perpendicular a los dos. Su norma es un área, y combinado con un tercer vector da un volumen.
  • 1.4 RectasUna recta queda determinada por un punto y una dirección. Hay dos maneras de escribirla y cada una sirve para preguntas distintas.
  • 1.5 Planos en ℝ³Un plano queda determinado por un punto y un vector perpendicular. Ese normal es toda la información: los coeficientes de la ecuación son sus coordenadas.
  • 1.6 Proyecciones y distanciasProyectar un punto sobre una recta o un plano es encontrar el punto más cercano. La distancia es lo que queda perpendicular.

Unidad 2 — Sistemas lineales y matrices

  • 2.1 Sistemas y eliminación de GaussUn sistema se escribe como matriz ampliada y se triangula con operaciones de fila. Triangulado, se resuelve de abajo hacia arriba.
  • 2.2 Matrices y productoUna matriz es un arreglo rectangular de números. Se suma elemento a elemento, pero el producto es fila por columna y no es conmutativo.
  • 2.3 Rango y Rouché-FrobeniusEl rango cuenta cuántas ecuaciones realmente distintas quedaron. Comparándolo con la cantidad de incógnitas se sabe de antemano cuántas soluciones hay.
  • 2.4 Sistemas con parámetroCuando un coeficiente es una letra, el sistema cambia de comportamiento según su valor. Hay que triangular sin dividir por el parámetro y después analizar los casos.
  • 2.5 Matriz inversaLa inversa de A es la matriz que al multiplicarla por A da la identidad. No todas la tienen, y se calcula triangulando A junto a la identidad.

Unidad 3 — Determinantes

  • 3.1 Cómo se calcula un determinanteEl determinante es un número que se le asigna a una matriz cuadrada. El de 2×2 es directo; los más grandes se reducen a determinantes más chicos.
  • 3.2 Propiedades del determinanteLas propiedades permiten calcular determinantes grandes sin desarrollar nada: se triangula la matriz y se multiplica la diagonal.
  • 3.3 Cramer, inversibilidad e independenciaEl determinante es un detector: si da distinto de cero, la matriz es inversible, las filas son independientes y el sistema tiene solución única. Todo es la misma pregunta.

Unidad 4 — Espacios vectoriales

  • 4.1 SubespaciosUn subespacio es un pedazo del espacio del que no te podés escapar sumando ni multiplicando por números. En ℝ² y ℝ³ son las rectas y los planos que pasan por el origen, y el…
  • 4.2 Combinaciones lineales y generadoresCon unos pocos vectores se arma un subespacio entero: todas sus combinaciones lineales. Saber pasar de esos generadores a las ecuaciones del subespacio, y de las ecuaciones a los…
  • 4.3 Independencia linealUn conjunto es linealmente independiente cuando ninguno de sus vectores sobra: ninguno es combinación de los otros. Se decide con un sistema homogéneo: si la única solución es la…
  • 4.4 Bases y dimensiónUna base genera todo el espacio con la menor cantidad posible de vectores: si le sacás uno deja de generar. Todas las bases de un mismo espacio tienen la misma cantidad de…
  • 4.5 Extracción y extensión de basesDe un conjunto que genera se extrae una base quedándose con los vectores de las columnas con pivote. A un conjunto independiente se lo extiende a una base agregándole una base…
  • 4.6 Coordenadas en una baseUna base es un sistema de referencia: cada vector se escribe de una única manera como combinación de sus vectores, y esos coeficientes, en orden, son sus coordenadas en esa base…
  • 4.7 Intersección y suma de subespaciosLa intersección de dos subespacios es lo que tienen en común; la suma, todo lo que se arma sumando un vector de cada uno. Las dimensiones se relacionan con una fórmula: lo que…
  • 4.8 Complemento ortogonalEl complemento ortogonal de S son todos los vectores perpendiculares a todo S. Se calcula pidiendo perpendicularidad sólo a los generadores, y es el puente entre ecuaciones y…

Unidad 5 — Transformaciones lineales

  • 5.1 Qué es una transformación linealUna transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que respeta las dos operaciones: la imagen de una suma es la suma de las imágenes, y los escalares salen…
  • 5.2 Núcleo e imagenEl núcleo es lo que f aplasta hasta el cero; la imagen es todo lo que f alcanza. Los dos son subespacios, y se calculan con las herramientas de la unidad 4: el núcleo es un…
  • 5.3 Teorema de la dimensión y clasificaciónLas dimensiones del dominio se reparten entre lo que f aplasta y lo que sobrevive: dim Nu(f) + dim Im(f) = dim V. De esa cuenta sale, casi sin trabajo, si f puede ser inyectiva…
  • 5.4 Una transformación lineal queda definida por una baseSi sabés adónde van los vectores de una base, sabés adónde va todo: cada vector es una combinación de la base, y f respeta combinaciones. Y al revés: podés mandar los vectores de…
  • 5.5 Composición, inversa y proyectoresComponer es aplicar una t.l. y después otra: el resultado es lineal, el orden importa, y el núcleo sólo puede crecer. Un isomorfismo se puede deshacer, y su inversa también es…
  • 5.6 Matriz de una transformación lineal en bases dadasElegidas una base del dominio y una del codominio, una t.l. se vuelve una matriz: la columna j son las coordenadas de la imagen del j-ésimo vector de la base. Multiplicar por esa…
  • 5.7 Matrices de cambio de baseUn mismo vector tiene coordenadas distintas en bases distintas, y la matriz de cambio de base traduce de unas a otras. Con ella se pasa también la matriz de una t.l. de una base a…

Unidad 6 — Números complejos y polinomios

  • 6.1 Complejos en forma binómicaUn complejo z = a + bi es un punto del plano: a sobre el eje real, b sobre el imaginario. Se opera como con polinomios en i, reemplazando i² por −1, y para dividir se multiplica…
  • 6.2 Forma trigonométrica y exponencialTodo complejo no nulo queda determinado por su módulo (cuánto mide) y su argumento (hacia dónde apunta). En esa forma multiplicar es fácil: los módulos se multiplican y los…
  • 6.3 Potencias, raíces y ecuaciones con complejosElevar a la n multiplica el ángulo por n; por eso la ecuación zⁿ = w tiene n soluciones, repartidas parejo sobre una circunferencia. Las ecuaciones con z̄ o con |z| se resuelven…
  • 6.4 Polinomios: operaciones, división y teorema del restoLos polinomios se dividen como los enteros: P = Q · C + R, con el resto de grado menor que el divisor. Cuando el divisor es x − z, el resto es un número y se calcula sin dividir…
  • 6.5 Raíces de polinomiosEn ℂ todo polinomio de grado n tiene n raíces, contadas con multiplicidad. Para encontrarlas hay dos herramientas: el lema de Gauss da la lista finita de candidatas racionales, y…
  • 6.6 Multiplicidad de raíces y factorizaciónLa multiplicidad de una raíz es cuántas veces aparece su factor (x − z). Se detecta con las derivadas sucesivas, y ordena la factorización: en ℂ[x] todo se parte en factores de…

Unidad 7 — Diagonalización

  • 7.1 Autovalores y autovectoresUn autovector es una dirección que la transformación no hace girar: sólo la estira, la achica o la da vuelta. El factor de estiramiento es su autovalor.
  • 7.2 Polinomio característico y autoespaciosLos autovalores son las raíces reales de P(λ) = det(A − λI). Para cada uno, los autovectores junto con el 0 forman un subespacio, y su dimensión puede ser menor que la…
  • 7.3 Diagonalización de matricesA es diagonalizable cuando hay una base de ℝⁿ hecha de autovectores. Entonces A = C·D·C⁻¹, con los autovectores como columnas de C y los autovalores, en el mismo orden, en la…
  • 7.4 Diagonalización de transformaciones lineales y potenciasPara f : V → V se trabaja con su matriz en una base cualquiera: sus autovalores son los de f, y sus autovectores son las coordenadas de los de f. Y una vez diagonalizada, Aⁿ =…

Parciales modelo, resueltos

Están escritos por nosotros con el temario y el formato de los que se toman. Los podés leer resueltos, o rendirlos sin corrección hasta entregarlos, como el de verdad.

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