Álgebra (27) · Unidad 6 — Números complejos y polinomios

Raíces de polinomios

En ℂ todo polinomio de grado n tiene n raíces, contadas con multiplicidad. Para encontrarlas hay dos herramientas: el lema de Gauss da la lista finita de candidatas racionales, y en ℝ[x] cada raíz no real trae a su conjugada.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

El teorema fundamental del álgebra

En ℝ hay polinomios sin raíces, como x² + 4. En ℂ eso no pasa:

Si P ∈ ℂ[x] y gr(P) ≥ 1, existe z ∈ ℂ tal que P(z) = 0.

Aplicándolo una y otra vez con el teorema del resto (cada raíz z permite escribir P = (x − z) · Q, con Q de un grado menos), se llega a que todo polinomio de grado n se factoriza en ℂ[x] como producto de n factores de grado 1:

P(x) = a_n (x − z₁)(x − z₂) ⋯ (x − z_n)

donde a_n es el coeficiente principal y algunas z pueden repetirse. Consecuencia directa: un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces distintas.

Lo que el teorema no da es una receta. Para grado 1 y 2 hay fórmulas, pero Abel y Galois probaron que para grado 5 en adelante no existe una fórmula general con raíces. Lo que sigue son herramientas que funcionan en casos concretos, y los ejercicios están armados para que alguna funcione.

En ℝ[x], las raíces no reales vienen de a pares

Si P tiene coeficientes reales y P(z) = 0, entonces P(z̄) = 0. La prueba es conjugar la igualdad a_nzⁿ + … + a₁z + a₀ = 0: el conjugado respeta sumas y productos, y cada a_j es real, así que queda a_nz̄ⁿ + … + a₁z̄ + a₀ = 0.

Por eso, si z = a + bi es raíz, el polinomio real

(x − z)(x − z̄) = x² − 2a·x + (a² + b²) = x² − 2Re(z)·x + |z|²

divide a P. Dos consecuencias que se usan todo el tiempo: una raíz compleja no real te regala un factor de grado 2 para dividir, y un polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real, porque las no reales vienen de a dos. Con coeficientes complejos esto no vale: x − i tiene la raíz i y no la −i.

El lema de Gauss: las candidatas racionales

Si P tiene coeficientes enteros, a₀ ≠ 0, y p/q es una raíz racional escrita como fracción irreducible (con q > 0), entonces

p divide a a₀ (el término independiente) y q divide a a_n (el principal)

El lema no dice cuáles son raíces: dice que fuera de esa lista no hay ninguna racional. La lista es finita, así que se prueba candidata por candidata.

Cómo se usa. 1) Si hay coeficientes fraccionarios, multiplicá P por un entero que los limpie: las raíces no cambian. Si a₀ = 0, sacá x factor común primero. 2) Listá los divisores de a₀ (con los dos signos) y los divisores positivos de a_n, y armá todas las fracciones p/q. 3) Especializá en cada una; empezá por las enteras, que son las más fáciles. 4) Apenas encontrás una raíz r, dividí por x − r con Ruffini y seguí con el cociente, que tiene un grado menos. 5) Cuando quede grado 2, resolvente.

Cuando te dan un dato

Muchos ejercicios traen una pista: «i es raíz», «tiene una raíz imaginaria pura», «tiene una raíz común con Q». Cada una se traduce en un factor para dividir:

• Si te dan una raíz no real de un P real, dividí por x² − 2Re(z)x + |z|².
• Si te dicen que hay una raíz imaginaria pura, planteá P(bi) = 0 con b real y b ≠ 0: las partes real e imaginaria dan dos ecuaciones en b, y la raíz tiene que cumplir las dos.
• Si P y Q tienen una raíz común y las de Q son fáciles, probá esas en P.

La estrategia es siempre la misma: encontrar una raíz, dividir para bajar el grado, y repetir hasta llegar a algo que se resuelva con fórmula.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar todas las raíces en ℂ de P(x) = 2x³ − 5x² + 14x + 39 y factorizarlo en ℝ[x] y en ℂ[x].

1. Las candidatas. Los coeficientes son enteros. p divide a 39 y q divide a 2:

p ∈ {±1, ±3, ±13, ±39} q ∈ {1, 2}
±1, ±3, ±13, ±39, ±1/2, ±3/2, ±13/2, ±39/2

2. Probar. Las enteras chicas no andan: P(1) = 50, P(−1) = 18, P(3) = 90 y P(−3) = −102. Pero ese cambio de signo entre −3 y −1 avisa que el gráfico cruza el eje en el medio, y de las dieciséis candidatas la única que cae entre −3 y −1 es −3/2:

P(−3/2) = 2(−27/8) − 5(9/4) + 14(−3/2) + 39 = −27/4 − 45/4 − 21 + 39 = −18 + 18 = 0 ✔

3. Dividir. Por Ruffini con −3/2:

coeficientes 2, −5, 14, 39 → 2, −8, 26, 0
P(x) = (x + 3/2)(2x² − 8x + 26) = (2x + 3)(x² − 4x + 13)

4. La cuadrática. x² − 4x + 13 tiene discriminante 16 − 52 = −36, así que x = (4 ± 6i)/2 = 2 ± 3i.

raíces: −3/2, 2 + 3i, 2 − 3i

5. Las factorizaciones. En ℝ[x] el factor x² − 4x + 13 no se puede partir (no tiene raíces reales); en ℂ[x] sí:

ℝ[x]: P = (2x + 3)(x² − 4x + 13)
ℂ[x]: P = 2(x + 3/2)(x − (2 + 3i))(x − (2 − 3i))

Controles. El coeficiente principal: en ℂ[x] tiene que aparecer el 2 adelante, porque los factores (x − z) son mónicos. Y el término independiente: 2 · (3/2) · |2 + 3i|² = 39 ✔. Fijate además que la cuadrática es x² − 2Re(z)x + |z|² con z = 2 + 3i: −4 = −2 · 2 y 13 = 4 + 9.

Y uno del nivel del parcial

Se sabe que P(x) = x⁴ − 2x³ + 6x² − 2x + 5 tiene alguna raíz imaginaria pura. Hallar todas sus raíces.

El dato, traducido. Hay una raíz de la forma bi, con b real y b ≠ 0. Se especializa usando i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1:

P(bi) = b⁴ + 2b³i − 6b² − 2bi + 5 = (b⁴ − 6b² + 5) + (2b³ − 2b)i

Para que valga 0, las dos partes tienen que anularse a la vez:

2b³ − 2b = 2b(b² − 1) = 0 → b = ±1 (b = 0 no, porque P(0) = 5)
b⁴ − 6b² + 5 con b = ±1: 1 − 6 + 5 = 0 ✔

Así que i y −i son raíces (la segunda también la garantiza la conjugada, porque P es real).

Dividir por (x − i)(x + i) = x² + 1:

x⁴ − 2x³ + 6x² − 2x + 5 = (x² + 1)(x² − 2x + 5)

La cuadrática que queda: discriminante 4 − 20 = −16, raíces 1 ± 2i.

raíces: i, −i, 1 + 2i, 1 − 2i

Dónde se pierde. En resolver sólo una de las dos ecuaciones: la parte real sola daría b⁴ − 6b² + 5 = 0, con b² = 1 ó b² = 5, y b = ±√5 no anula la parte imaginaria. La raíz tiene que cumplir las dos. Control final: el producto de las cuatro raíces tiene que dar el término independiente (el polinomio es mónico y de grado par): 1 · 5 = 5 ✔.

Dónde se cae la mayoría

Armar las candidatas de Gauss con los divisores al revés: el numerador divide al término independiente y el denominador al coeficiente principal.
Aplicar Gauss a un polinomio con coeficientes fraccionarios sin multiplicarlo antes por un entero.
Usar la regla de la conjugada con un polinomio de coeficientes complejos. Sólo vale en ℝ[x].
Encontrar una raíz y seguir probando candidatas en el polinomio original en vez de dividir: el cociente tiene grado menor y las cuentas se achican.
Concluir que un polinomio no tiene raíces porque ninguna candidata de Gauss lo anula. Lo único que se concluye es que no tiene raíces racionales.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Raíces de polinomios →

Dónde entra este tema en el parcial

Segundo parcial — Una raíz compleja que viene disfrazada25 puntos · resuelto paso a paso

Los otros temas de la unidad 6

Números complejos y polinomios

Ver todos los temas de Álgebra (27)