Álgebra (27) · Unidad 6 — Números complejos y polinomios
Potencias, raíces y ecuaciones con complejos
Elevar a la n multiplica el ángulo por n; por eso la ecuación zⁿ = w tiene n soluciones, repartidas parejo sobre una circunferencia. Las ecuaciones con z̄ o con |z| se resuelven igualando módulos por un lado y ángulos por el otro.
La explicación
Potencias
Aplicando De Moivre n veces al mismo número:
El módulo se eleva a la n y el ángulo se multiplica por n. En forma binómica, (1 − i)⁶ serían varias líneas de distribuir; en trigonométrica es una. Para (−1 + i)¹⁰: el módulo es (√2)¹⁰ = 32 y el ángulo, 10 · 3π/4 = 15π/2. Queda reducir: 15π/2 − 3 · 2π = 3π/2, así que (−1 + i)¹⁰ = −32i.
Raíces n-ésimas
Dado w ≠ 0, las raíces n-ésimas de w son los z que cumplen zⁿ = w. Se plantea z con módulo y ángulo desconocidos y se usa la igualdad en forma trigonométrica:
⟺ |z|ⁿ = |w| y nθ = α + 2kπ
La primera da un único módulo real positivo, |z| = |w|1/n. La segunda es la que importa: el 2kπ, dividido por n, ya no es una vuelta entera, y cada k da un ángulo nuevo.
Con k = n se vuelve al ángulo de k = 0 más una vuelta: las soluciones se repiten. Hay exactamente n raíces distintas, todas del mismo módulo, separadas por 2π/n: son los vértices de un polígono regular de n lados centrado en el origen. Por eso el símbolo ∛ no se usa con complejos: 8 tiene tres raíces cúbicas, y ∛8 elegiría una sola.
La receta práctica: la primera raíz tiene ángulo α/n, y las demás se consiguen sumando 2π/n una y otra vez. Otra consecuencia: las n raíces de un mismo número suman 0 (n ≥ 2), porque el polígono está centrado en el origen.
Ecuaciones con z̄ o con |z|
Para ecuaciones como z⁴ = c · z̄ se pasa todo a forma trigonométrica. Primero se separa z = 0, que suele ser solución y no tiene argumento. Para z ≠ 0:
Por ejemplo, en z⁵ = 81z̄ los módulos dan |z|⁵ = 81|z|, o sea |z| = 3 (o z = 0), y los ángulos dan 5θ = −θ + 2kπ, es decir θ = kπ/3: seis soluciones de módulo 3, que forman un hexágono, más el 0. Siete en total, aunque el exponente sea 5.
La cuadrática con coeficientes complejos
Para az² + bz + c = 0 vale la resolvente, con una aclaración: la raíz del discriminante es cualquiera de los dos w que cumplen w² = b² − 4ac, que se hallan con el método binómico del tema 6.1.
Usando w y −w salen las dos soluciones. Si el discriminante es un real negativo, −d, sus raíces cuadradas son ±√d · i; si es un complejo no real, hay que resolver w² = Δ.
Hallar las raíces quintas de w = −16 + 16√3 i, y dar en forma binómica la que tenga coordenadas exactas conocidas.
1. w en forma trigonométrica. |w| = √(256 + 768) = √1024 = 32. Está en el segundo cuadrante, con cos α = −1/2 y sen α = √3/2:
2. La ecuación. Con z = |z|(cos θ + i sen θ):
5θ = 2π/3 + 2kπ → θ = 2π/15 + 2kπ/5
3. Los cinco ángulos. Arrancando en 2π/15 y sumando 2π/5 = 6π/15 cada vez:
Con k = 5 saldría 32π/15 = 2π/15 + 2π: el mismo punto que k = 0. Las soluciones son
4. La que tiene coordenadas exactas. Sólo 4π/3 es un ángulo de la tabla:
Las otras cuatro raíces quedan en forma trigonométrica, y así se dejan: cos(2π/15) no tiene un valor que se escriba con raíces sencillas, y nadie lo pide.
Hallar todos los z ∈ ℂ tales que z⁵ = 16i · z̄ e Im(z) > 0. Dar cada solución en forma trigonométrica y verificar una de ellas.
El cero. z = 0 cumple la ecuación, pero Im(0) = 0 no es mayor que 0: se descarta.
Para z ≠ 0, con z = |z|(cos θ + i sen θ):
16i · z̄ = 16|z| (cos(π/2 − θ) + i sen(π/2 − θ))
porque 16i tiene módulo 16 y argumento π/2, y z̄ tiene ángulo −θ.
Módulos: |z|⁵ = 16|z| → |z|⁴ = 16 → |z| = 2.
Ángulos: 5θ = π/2 − θ + 2kπ → 6θ = π/2 + 2kπ → θ = π/12 + kπ/3.
Pidiendo 0 ≤ θ < 2π salen k = 0, …, 5: seis soluciones no nulas, separadas π/3.
La condición. Im(z) > 0 es θ ∈ (0, π): quedan las tres primeras.
Dónde se cae la mayoría
- Dar una sola raíz n-ésima, como en ℝ. En ℂ son siempre n, y la calculadora te da sólo una.
- Repartir el módulo en vez de sacarle la raíz: las raíces cuartas de 81 miden 3, no 81/4.
- Dividir por n sólo el α y no el 2kπ: así salen n veces el mismo número.
- Perder la solución z = 0 en las ecuaciones con z̄ o con |z|, por dividir por |z| sin separarla antes.
- Reducir un ángulo grande restando π en vez de 2π: media vuelta cambia el número por su opuesto.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Potencias, raíces y ecuaciones con complejos →Los otros temas de la unidad 6
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