Álgebra (27) · Unidad 6 — Números complejos y polinomios
Complejos en forma binómica
Un complejo z = a + bi es un punto del plano: a sobre el eje real, b sobre el imaginario. Se opera como con polinomios en i, reemplazando i² por −1, y para dividir se multiplica por el conjugado del denominador.
La explicación
Qué es un número complejo
En ℝ la ecuación x² + 1 = 0 no tiene solución, porque ningún cuadrado real es negativo. Los complejos agregan un número nuevo, i, con la única regla i² = −1, y con él arman
La expresión a + bi es la forma binómica. Ojo con la parte imaginaria: es un número real, no lleva la i. Im(4 − 7i) = −7, no −7i. Los reales son los complejos con b = 0, así que ℝ ⊂ ℂ; los de a = 0 se llaman imaginarios puros.
Dos complejos son iguales si y sólo si coinciden la parte real y la parte imaginaria. Esa frase, que parece obvia, es la herramienta con la que se resuelven casi todas las ecuaciones de este tema: una igualdad entre complejos son dos igualdades entre reales.
La lectura geométrica
z = a + bi se identifica con el punto (a, b) del plano, o con la flecha que va del origen a ese punto. Con esa lectura, la suma de complejos es la suma de vectores (regla del paralelogramo) y multiplicar por un real k estira o achica la flecha, igual que en ℝ².
Producto y potencias de i
No hace falta memorizar ninguna fórmula: se distribuye como si i fuera una letra y al final se reemplaza i² por −1.
Las potencias de i dan vueltas de a cuatro: i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, y vuelve a empezar. Por eso iⁿ depende sólo del resto de dividir n por 4.
Conjugado y módulo
Conjugar es reflejar respecto del eje real; el módulo es la distancia de z al origen, y más en general |z − w| es la distancia entre z y w. Por eso |z − (2 − i)| = 3 describe la circunferencia de centro 2 − i y radio 3, sin hacer una sola cuenta.
La identidad z · z̄ = |z|² es la clave: multiplicar un complejo por su conjugado da un real positivo (si z ≠ 0). De ahí sale el inverso y, con él, la división:
Las propiedades que ahorran cuentas: el conjugado respeta sumas y productos (conj(z + w) = z̄ + w̄, conj(z·w) = z̄·w̄), y el módulo respeta productos y cocientes (|z·w| = |z|·|w|, |z/w| = |z|/|w|). Para el módulo de una expresión larga no hace falta calcular la expresión: se toma el módulo de cada factor. Con la suma no vale: |z + w| ≤ |z| + |w|, y en general no hay igualdad.
Ecuaciones: se plantea z = a + bi
Cuando la incógnita aparece junto con su conjugado o su módulo no se puede «despejar z». Se escribe z = a + bi, se opera, y se igualan partes reales y partes imaginarias: quedan dos ecuaciones con dos incógnitas reales.
Para hallar los w con w² = c + di conviene agregar una tercera ecuación que sale de tomar módulo: |w|² = |c + di|.
Sumando y restando la primera y la tercera salen a² y b²; el signo de 2ab decide cómo se combinan los signos de a y b. Siempre quedan dos soluciones, una opuesta de la otra.
Dar la forma binómica de z = (2 − 3i)² / (1 + 2i) y calcular |z| de dos maneras: con la forma binómica y con las propiedades del módulo.
El cuadrado, distribuyendo y usando i² = −1:
El cociente. Se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador, 1 − 2i:
Abajo queda |1 + 2i|² = 1 + 4 = 5, que es real. Arriba:
El módulo, con la forma binómica:
El módulo, sin hacer ninguna cuenta con i. El módulo respeta potencias y cocientes:
Fijate además dónde cae z: parte real negativa y parte imaginaria negativa, o sea en el tercer cuadrante. Ubicarlo en el plano es un control rápido de los signos.
Hallar todos los z ∈ ℂ tales que z² + |z|² = 8 + 6i, dar cada uno en forma binómica y verificar las soluciones. ¿Qué relación hay entre ellas?
Planteo. Aparece |z|, así que no se puede despejar z: se escribe z = a + bi con a, b reales.
z² + |z|² = 2a² + 2ab·i
El b² se cancela: es lo que hace que este ejercicio salga limpio. Igualando partes:
2ab = 6 → b = 3/a
Cada valor de a determina su b: con a = 2, b = 3/2; con a = −2, b = −3/2.
Verificación con z₁. z₁² = 4 − 9/4 + 6i = 7/4 + 6i y |z₁|² = 4 + 9/4 = 25/4. La suma da 7/4 + 25/4 + 6i = 8 + 6i ✔. Con z₂ sale igual, porque z₂ = −z₁ y ni el cuadrado ni el módulo ven el signo.
Dónde se cae la mayoría
- Poner la i en la parte imaginaria: Im(3 − 5i) es −5, un número real, no −5i.
- Olvidarse de que i² = −1 al distribuir, y sumar el término bd en vez de restarlo.
- Dividir multiplicando por el denominador en vez de por su conjugado: abajo queda un número que todavía tiene i.
- Calcular el módulo de una suma como la suma de los módulos. |z·w| = |z|·|w| vale siempre; |z + w| = |z| + |w|, casi nunca.
- Al resolver w² = c + di, elegir los signos de a y b sin mirar el signo de 2ab, y quedarse con dos números que al cuadrado dan el conjugado.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Complejos en forma binómica →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Una raíz compleja que viene disfrazada25 puntos · resuelto paso a paso
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