Álgebra (27) · Unidad 6 — Números complejos y polinomios

Multiplicidad de raíces y factorización

La multiplicidad de una raíz es cuántas veces aparece su factor (x − z). Se detecta con las derivadas sucesivas, y ordena la factorización: en ℂ[x] todo se parte en factores de grado 1; en ℝ[x] quedan además factores de grado 2 sin raíces reales.

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La explicación

Qué es la multiplicidad

En la factorización P(x) = a_n(x − z₁)⋯(x − z_n) puede haber factores repetidos. Se dice que z es raíz de multiplicidad k de P si

P(x) = (x − z)^k · Q(x), con Q(z) ≠ 0

Si k = 1 la raíz es simple; si k ≥ 2, múltiple (doble, triple…). La condición Q(z) ≠ 0 es la que importa: dice que en Q ya no queda ningún factor x − z escondido. Por eso, para leer la multiplicidad de una factorización, primero hay que factorizar todo: en (x² − 4)(x − 2) la raíz 2 es doble, porque x² − 4 = (x − 2)(x + 2) trae otro factor x − 2.

Contadas con su multiplicidad, las raíces de un polinomio de grado n son exactamente n.

Cómo se detecta: las derivadas

El polinomio derivado de P(x) = Σ a_jx^j es ∂P(x) = Σ j·a_jx^j−1 (la derivada de siempre, definida sobre los coeficientes), y ∂²P = ∂(∂P), etcétera. Vale:

z es raíz de multiplicidad k ⟺ P(z) = ∂P(z) = … = ∂^k−1P(z) = 0 y ∂^kP(z) ≠ 0

La idea: si P = (x − z)^kQ, al derivar el exponente baja de a uno, así que la derivada k-ésima es la primera en la que ya no queda el factor.

Cómo se usa. Especializá P, ∂P, ∂²P, … en z, uno por uno, y frená en la primera que no dé 0: su orden es la multiplicidad. Si te dicen «tiene una raíz triple» y no te dicen cuál, buscala entre las raíces de ∂²P, que es de grado más chico, o entre las candidatas de Gauss, y confirmala con las derivadas.

En el gráfico real la multiplicidad se ve: en una raíz de multiplicidad impar el polinomio cambia de signo (cruza el eje; si es 3 o más, aplanándose), y en una de multiplicidad par toca el eje y rebota.

Factorizar en ℂ[x] y en ℝ[x]

Un polinomio de grado ≥ 1 es irreducible si no se puede escribir como producto de dos polinomios de grado menor. Qué es irreducible depende de dónde viven los coeficientes:

• En ℂ[x], los irreducibles son sólo los de grado 1 (por el teorema fundamental).
• En ℝ[x], son los de grado 1 y los de grado 2 con discriminante negativo, como x² + 2x + 5. Todo polinomio real se parte en factores de esos dos tipos: cada par de raíces conjugadas z, z̄ forma un factor x² − 2Re(z)x + |z|².

En ℝ[x], además, z y z̄ tienen la misma multiplicidad. Por ejemplo x⁴ + 4 no tiene raíces reales, pero no es irreducible en ℝ[x]: sus raíces son las raíces cuartas de −4, 1 ± i y −1 ± i, y agrupando conjugadas queda (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2).

Construir un polinomio con condiciones

«Hallar P de grado mínimo con tales raíces y tal valor» se resuelve siempre igual: se pone cada raíz con su multiplicidad (en ℝ[x], con su conjugada al lado), se multiplica por una constante A, y el valor dado fija A. Ahí se ve la diferencia entre ℂ[x] y ℝ[x]: con 3i raíz doble, en ℂ[x] alcanza (x − 3i)², de grado 2; en ℝ[x] hace falta (x² + 9)², de grado 4.

Coeficientes y raíces

Desarrollando a(x − z₁)(x − z₂)(x − z₃) y comparando con ax³ + bx² + cx + d:

z₁ + z₂ + z₃ = −b/a z₁z₂ + z₁z₃ + z₂z₃ = c/a z₁z₂z₃ = −d/a

Sirven de control rápido (la suma de las raíces de un mónico es menos el coeficiente del segundo término) y para problemas donde se sabe algo de las raíces sin conocerlas.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Determinar la multiplicidad de −1 como raíz de P(x) = x⁵ − x⁴ − 4x³ + 4x² + 11x + 5, hallar las demás raíces y factorizar P en ℝ[x] y en ℂ[x].

1. ¿Es raíz? P(−1) = −1 − 1 + 4 + 4 − 11 + 5 = 0 ✔.

2. Las derivadas, especializadas en −1, hasta que una no se anule:

∂P(x) = 5x⁴ − 4x³ − 12x² + 8x + 11 ∂P(−1) = 5 + 4 − 12 − 8 + 11 = 0
∂²P(x) = 20x³ − 12x² − 24x + 8 ∂²P(−1) = −20 − 12 + 24 + 8 = 0
∂³P(x) = 60x² − 24x − 24 ∂³P(−1) = 60 + 24 − 24 = 60 ≠ 0

La primera que no se anula es la tercera: −1 es raíz triple.

3. El resto de las raíces. (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1 divide a P, y el cociente tiene grado 2:

P(x) = (x + 1)³ (x² − 4x + 5)

Se puede verificar sin dividir con los extremos: x² · x³ da x⁵ ✔ y 1 · 5 da el 5 ✔. La cuadrática tiene discriminante 16 − 20 = −4, así que sus raíces son 2 ± i.

ℝ[x]: P = (x + 1)³ (x² − 4x + 5)
ℂ[x]: P = (x + 1)³ (x − (2 + i)) (x − (2 − i))

Control con la suma de las raíces. Contadas con multiplicidad son cinco: −1, −1, −1, 2 + i, 2 − i. Suman −3 + 4 = 1, y para un mónico la suma tiene que ser menos el coeficiente de x⁴, o sea −(−1) = 1 ✔. Es un control de diez segundos que caza casi cualquier error en el cociente.

Fijate por qué conviene el criterio de las derivadas: si hubieras dividido una sola vez por x + 1, habrías llegado a un cociente de grado 4 que todavía tiene a −1 como raíz, y habría que seguir dividiendo sin saber cuántas veces.

Y uno del nivel del parcial

Hallar P ∈ ℝ[x] de grado mínimo que tenga a 2 − i como raíz doble, a −1 como raíz simple, y que cumpla P(0) = 50.

Las raíces obligadas. P es real, así que 2 + i también es raíz, y con la misma multiplicidad: doble. Contando, 2 + 2 + 1 = 5 raíces, y el grado mínimo es 5.

El factor real de cada par. (x − (2 − i))(x − (2 + i)) = x² − 4x + 5, porque Re = 2 y |2 − i|² = 5. Entonces

P(x) = A (x + 1)(x² − 4x + 5)²

La constante. P(0) = A · 1 · 25 = 50, así que A = 2.

P(x) = 2(x + 1)(x² − 4x + 5)² = 2x⁵ − 14x⁴ + 36x³ − 28x² − 30x + 50

Controles. P(0) = 50 ✔ (el término independiente). P(−1) = 0 ✔. Y la suma de las raíces contadas con multiplicidad: −1 + 2(2 − i) + 2(2 + i) = 7, que tiene que ser −(−14)/2 = 7 ✔. Dónde se pierde: en poner (x − (2 − i))² solo, que da coeficientes complejos; y en poner la conjugada con multiplicidad 1: el polinomio saldría de grado 4 y no sería real.

Dónde se cae la mayoría

Leer la multiplicidad sin factorizar del todo: en (x² − 1)(x − 1)² la raíz 1 aparece tres veces, no dos.
Parar en la primera derivada que da 0 y dar ése como el orden. La multiplicidad es el orden de la primera derivada que NO se anula.
Dar como irreducible en ℝ[x] un polinomio sin raíces reales de grado 4, como x⁴ + 4: se parte en dos de grado 2.
Poner una raíz compleja doble en un polinomio real y olvidarse de que su conjugada también es doble: el grado mínimo queda mal.
Olvidarse de la constante A al construir un polinomio: sin ella no hay forma de cumplir P(0) = 50 o cualquier otro valor.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Segundo parcial — Una raíz compleja que viene disfrazada25 puntos · resuelto paso a paso

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