Álgebra (27) · Unidad 7 — Diagonalización

Autovalores y autovectores

Un autovector es una dirección que la transformación no hace girar: sólo la estira, la achica o la da vuelta. El factor de estiramiento es su autovalor.

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La explicación

De dónde sale la pregunta

Una transformación lineal f : V → V tiene una matriz distinta en cada base, y algunas son mucho más cómodas que otras. La más cómoda posible es una diagonal: si en la base B = {v₁, v₂} la matriz es M_B(f) = [[λ₁, 0], [0, λ₂]], leyendo las columnas queda

f(v₁) = λ₁·v₁ + 0·v₂ = λ₁·v₁ f(v₂) = 0·v₁ + λ₂·v₂ = λ₂·v₂

O sea: cada vector de esa base va a parar a un múltiplo de sí mismo. Esos vectores tienen nombre, y toda la unidad gira alrededor de encontrarlos.

La definición

v ≠ 0 es autovector de f asociado al autovalor λ ∈ ℝ ⟺ f(v) = λ·v
para una matriz A ∈ ℝ^n×n: v ≠ 0 y A·v = λ·v

Dos detalles que se toman en los parciales. El vector nulo nunca es autovector: A·0 = λ·0 vale para cualquier λ y no diría nada. En cambio el autovalor sí puede ser 0: que A·v = 0 con v ≠ 0 es perfectamente posible, y quiere decir que v está en el núcleo.

La imagen en el plano

Pensá en A como algo que mueve todas las flechas del plano. Casi todas cambian de dirección. Los autovectores son las pocas que se quedan sobre su misma recta: si λ = 3 se estiran al triple, si λ = ½ se achican a la mitad, si λ = −1 se dan vuelta, si λ = 0 se aplastan al origen. Algunos casos que conviene tener vistos sin hacer una cuenta:

proyección sobre una recta L: los de L tienen λ = 1, los perpendiculares tienen λ = 0
simetría respecto de L: los de L tienen λ = 1, los perpendiculares tienen λ = −1
rotación de 90°: ninguna flecha queda sobre su recta → no hay autovectores reales

La rotación es el ejemplo que muestra que no siempre hay autovectores. Y si λ es autovalor, todo múltiplo no nulo de un autovector vuelve a serlo: A(c·v) = c·A·v = λ·(c·v). Lo que se busca, en realidad, son rectas (o planos) de autovectores.

¿Es v autovector? Se multiplica y se mira

1. Calculá A·v.
2. Fijate si el resultado es un múltiplo de v, con la misma razón en todas las coordenadas.
3. Si lo es, esa razón es el autovalor. Si en una coordenada la razón es 2 y en otra 3, no es autovector.
Ojo con las coordenadas nulas: si v = (0, 1) y A·v = (5, 3), no es autovector, porque haría falta λ·0 = 5.

¿Cuáles son todos? Un sistema homogéneo

A·v = λ·v se puede pasar todo de un lado: A·v − λ·I·v = 0, o sea

(A − λI)·v = 0

Es un sistema homogéneo, y queremos que tenga una solución distinta de la trivial. Eso pasa exactamente cuando la matriz del sistema no es inversible:

λ es autovalor de A ⟺ det(A − λI) = 0

Ésa es la ecuación que da los autovalores (en 7.2 la vamos a mirar como polinomio). Para cada λ que la cumpla, los autovectores son las soluciones no nulas de (A − λI)v = 0, que se encuentran triangulando como cualquier sistema. Por eso λ = 0 es autovalor si y sólo si det(A) = 0: tener autovalor 0 y no ser inversible son la misma cosa.

Más allá de ℝⁿ

La definición no pide flechas: vale en cualquier espacio vectorial.

en ℝ₂[x], f(p) = p′: p′ = λp sólo es posible con λ = 0, y los autovectores son las constantes
en ℝ^2×2, f(X) = Xᵗ: las simétricas cumplen Xᵗ = X (λ = 1) y las antisimétricas Xᵗ = −X (λ = −1)

Con la derivada pasa algo que conviene notar: si p no es constante, p′ tiene un grado menos que p, así que no puede ser un múltiplo no nulo de p. Y si fuera p′ = 0·p, p sería constante.

Autovector: una dirección que no gira. Autovalor: cuánto se estira. Se encuentran con det(A − λI) = 0 y después resolviendo (A − λI)v = 0.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea A = [[4, −2], [1, 1]] (escrita por filas). Decidir cuáles de v = (1, 1), w = (2, 1) y u = (1, 2) son autovectores de A, con qué autovalor, y hallar todos los autovectores asociados a λ = 3.

Se multiplica cada uno. Fila por vector:

A·v = (4·1 − 2·1, 1·1 + 1·1) = (2, 2) = 2·(1, 1) → autovector, λ = 2
A·w = (4·2 − 2·1, 1·2 + 1·1) = (6, 3) = 3·(2, 1) → autovector, λ = 3
A·u = (4·1 − 2·2, 1·1 + 1·2) = (0, 3) → no: haría falta λ·1 = 0 y λ·2 = 3 a la vez

u no es autovector: A lo hizo girar, de la recta de (1, 2) a la del eje y.

Todos los de λ = 3. Se resuelve (A − 3I)v = 0:

A − 3I = [[4 − 3, −2], [1, 1 − 3]] = [[1, −2], [1, −2]]
las dos filas dicen lo mismo: x − 2y = 0 → x = 2y
v = (2y, y) = y·(2, 1), con y ≠ 0

Es la recta generada por (2, 1), sin el origen. El w de antes es el caso y = 1, como tenía que ser.

Control con el determinante. Antes de resolver, conviene confirmar que 3 es autovalor: det(A − 3I) = 1·(−2) − (−2)·1 = −2 + 2 = 0 ✔. Si hubiera dado distinto de cero, el sistema tendría sólo la solución trivial y habría que sospechar de una cuenta.
Otro control, que se aprovecha en 7.2: los dos autovalores, 2 y 3, suman 5 = 4 + 1 (la diagonal de A) y multiplican 6 = 4·1 − (−2)·1 = det(A).

Qué ganamos. v = (1, 1) y w = (2, 1) no son paralelos, así que B = {(1, 1), (2, 1)} es una base de ℝ², y en esa base la matriz de f(x) = A·x es diagonal:

f(1, 1) = 2·(1, 1) + 0·(2, 1) f(2, 1) = 0·(1, 1) + 3·(2, 1) → M_B(f) = [[2, 0], [0, 3]]

Esa base convierte a A, que mezcla las dos coordenadas, en dos estiramientos independientes. Ése es el objetivo de toda la unidad.

Y uno del nivel del parcial

Sea A = [[1, 2, 0], [k, −1, 1], [0, 1, 2]] (por filas). Hallar k ∈ ℝ para que λ = 3 sea autovalor de A y, para ese k, hallar todos los autovectores asociados a 3.

La condición. 3 es autovalor si y sólo si (A − 3I)v = 0 tiene soluciones no nulas, o sea det(A − 3I) = 0.

A − 3I = [[−2, 2, 0], [k, −4, 1], [0, 1, −1]]
det = −2·((−4)(−1) − 1·1) − 2·(k·(−1) − 1·0) + 0 = −2·3 + 2k = 2k − 6

2k − 6 = 0 → k = 3. Para cualquier otro k, el sistema tiene sólo la solución trivial y 3 no es autovalor.

Los autovectores, con k = 3.

(A − 3I | 0) = [[−2, 2, 0 │ 0], [3, −4, 1 │ 0], [0, 1, −1 │ 0]]
fila 1: −2x + 2y = 0 → x = y fila 3: y − z = 0 → z = y
fila 2: 3y − 4y + y = 0 ✔ (no agrega nada: es combinación de las otras)

Los autovectores son v = α·(1, 1, 1) con α ≠ 0.

Verificación. A·(1, 1, 1) = (1 + 2 + 0, 3 − 1 + 1, 0 + 1 + 2) = (3, 3, 3) = 3·(1, 1, 1) ✔.
Dónde se pierde el punto: en escribir A − 3I restando 3 a todos los lugares y no sólo a la diagonal, y en dar como respuesta «α(1, 1, 1)» sin aclarar α ≠ 0: el nulo no es autovector.

Dónde se cae la mayoría

Aceptar v = 0 como autovector. Cumple A·0 = λ·0 para cualquier λ, y por eso la definición lo excluye.
Creer que 0 no puede ser autovalor. Sí puede: significa que hay un v ≠ 0 con A·v = 0, o sea que A no es inversible.
Decidir que A·v es múltiplo de v mirando una sola coordenada. La razón tiene que ser la misma en todas.
Resolver (A − λI)v = 0 con un λ que no anula det(A − λI). Ahí la única solución es v = 0 y no hay autovectores.
Multiplicar A·v por columnas en vez de por filas: cada coordenada de A·v es una fila de A por v.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Segundo parcial — Diagonalizable según k, y la novena potencia25 puntos · resuelto paso a paso

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