Álgebra (27) · Unidad 7 — Diagonalización

Diagonalización de transformaciones lineales y potencias

Para f : V → V se trabaja con su matriz en una base cualquiera: sus autovalores son los de f, y sus autovectores son las coordenadas de los de f. Y una vez diagonalizada, Aⁿ = C·Dⁿ·C⁻¹ sale casi sin cuentas.

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La explicación

Una transformación, muchas matrices, los mismos autovalores

Si f : V → V y B = {v₁, …, vₙ} es una base de V, la matriz M_B(f) cumple (f(v))_B = M_B(f)·(v)_B. Entonces f(v) = λ·v se traduce a coordenadas así:

f(v) = λ·v ⟺ M_B(f)·(v)_B = λ·(v)_B

λ es autovalor de f ⟺ λ es autovalor de M_B(f)
v es autovector de f ⟺ (v)_B es autovector de M_B(f), con el mismo λ

La trampa está en la segunda línea: lo que resuelve el sistema son coordenadas. Si M_B(f) tiene el autovector (1, 2), el autovector de f es v₁ + 2v₂, no el (1, 2), salvo que B sea la canónica. En ℝ₂[x] con B = {1, x, x²}, el autovector (1, 0, 3) es el polinomio 1 + 3x².

El procedimiento para f : V → V.
1. Elegí una base B cómoda (la canónica, si existe) y armá M_B(f): en la columna j van las coordenadas de f(vⱼ).
2. Autovalores y autoespacios de esa matriz, como en 7.2.
3. Traducí cada autovector de la matriz a un vector de V, con las coordenadas en B.
4. Si las dimensiones suman n, esos vectores forman una base B′ y M_B′(f) es diagonal, con los autovalores en el orden de B′.

Cuando el dato viene en dos bases

Si te dan M_BB′(f), que va de coordenadas en B a coordenadas en B′, no se le pueden buscar autovalores directamente: compararía vectores escritos en dos idiomas distintos. Primero se lleva a una sola base, con un cambio de base de un lado:

M_B(f) = C_B′B · M_BB′(f) o bien M_E(f) = M_BE(f) · C_EB

El orden se controla leyendo de derecha a izquierda: entran coordenadas en E, C_EB las pasa a B, M_BE(f) aplica f y devuelve en E. Si los índices no encadenan, el producto está al revés.

Las geométricas se diagonalizan sin cuentas

En ℝ³, sea Π un plano por el origen con normal n, y u, w una base de Π.

proyección ortogonal sobre Π: f(u) = u, f(w) = w, f(n) = 0 → en {u, w, n}, D = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 0]]
simetría respecto de Π: f(u) = u, f(w) = w, f(n) = −n → en {u, w, n}, D = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, −1]]

La base de autovectores está en el enunciado mismo: lo que queda quieto y lo que se da vuelta o se aplasta. Y si se pide la matriz en la canónica, sale de A = C·D·C⁻¹, con u, w y n en las columnas de C.

En polinomios y matrices

ℝ₂[x], f(p)(x) = p(−x): los pares no cambian (λ = 1, S₁ = ⟨1, x²⟩) y los impares cambian de signo (λ = −1, S₋₁ = ⟨x⟩)
ℝ^2×2, f(X) = Xᵗ: λ = 1 con las simétricas (dim 3) y λ = −1 con las antisimétricas (dim 1)

Las dimensiones suman 3 y 4, las de cada espacio: las dos son diagonalizables. En el segundo, una base de autovectores es {E₁₁, E₂₂, E₁₂ + E₂₁, E₁₂ − E₂₁}.

Potencias: para qué sirve todo esto

Si A = C·D·C⁻¹, al multiplicar A por sí misma las C⁻¹·C del medio se cancelan:

A² = C D C⁻¹ · C D C⁻¹ = C D² C⁻¹ ··· Aⁿ = C · Dⁿ · C⁻¹
y Dⁿ es diagonal con λ₁ⁿ, …, λₙⁿ: no hay que multiplicar matrices

Calcular A¹⁰ a mano son nueve productos de matrices; así son dos. La misma idea, sin matrices: si v = a₁v₁ + ··· + aₙvₙ en una base de autovectores, entonces fⁿ(v) = a₁λ₁ⁿ·v₁ + ··· + aₙλₙⁿ·vₙ. Cada parte de v se multiplica por su autovalor tantas veces como se aplique f.

Dos lecturas que vale la pena tener: si todos los |λ| < 1, Aⁿ tiende a la matriz nula; y si los autovalores son 1 y −1, como en una simetría, D² = I y entonces A² = I: aplicar dos veces un espejo es no hacer nada.

Autovalores de f = autovalores de cualquier M_B(f). Autovectores de la matriz = coordenadas de los de f. Con A = C·D·C⁻¹, las potencias son Aⁿ = C·Dⁿ·C⁻¹.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea f : ℝ₂[x] → ℝ₂[x], f(p) = p + (x + 1)·p′. Encontrar sus autovalores y sus autovectores. ¿Hay una base B′ de ℝ₂[x] en la que M_B′(f) sea diagonal? Si la hay, darla.

1. La matriz en una base cómoda, B = {1, x, x²}. Se aplica f a cada polinomio y sus coordenadas van en columna:

f(1) = 1 + 0 = 1 → (1, 0, 0)
f(x) = x + (x + 1)·1 = 1 + 2x → (1, 2, 0)
f(x²) = x² + (x + 1)·2x = 2x + 3x² → (0, 2, 3)
M_B(f) = [[1, 1, 0], [0, 2, 2], [0, 0, 3]]

2. Autovalores. Es triangular: 1, 2 y 3. Tres autovalores distintos en un espacio de dimensión 3: f es diagonalizable sin necesidad de mirar más.

3. Autovectores de la matriz, con coordenadas (a, b, c):

λ = 1: [[0, 1, 0], [0, 1, 2], [0, 0, 2]] → b = c = 0 → (1, 0, 0)
λ = 2: [[−1, 1, 0], [0, 0, 2], [0, 0, 1]] → c = 0, a = b → (1, 1, 0)
λ = 3: [[−2, 1, 0], [0, −1, 2], [0, 0, 0]] → b = 2c, a = b/2 = c → (1, 2, 1)

4. Traducir a polinomios. Ésas son coordenadas en {1, x, x²}:

(1, 0, 0) → 1 (1, 1, 0) → 1 + x (1, 2, 1) → 1 + 2x + x² = (x + 1)²
B′ = {1, x + 1, (x + 1)²} M_B′(f) = [[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]

Verificación directa, sin matrices:
f(x + 1) = (x + 1) + (x + 1)·1 = 2(x + 1) ✔
f((x + 1)²) = (x + 1)² + (x + 1)·2(x + 1) = 3(x + 1)² ✔
Lo que muestra: los autovectores son potencias de (x + 1), y es razonable: f mira p «desde −1». Escritos en potencias de (x + 1), f multiplica la de grado k por k + 1.

El error que hay que evitar es contestar «los autovectores son (1, 0, 0), (1, 1, 0) y (1, 2, 1)». f no actúa sobre ternas: actúa sobre polinomios. Las ternas son sólo cómo se escriben en la base B.

Y uno del nivel del parcial

Sea A = [[4, −3], [2, −1]] (por filas). Diagonalizar A, dando C y D con A = C·D·C⁻¹, y usar la factorización para calcular A⁸. Controlar el resultado con la traza y el determinante.

Autovalores. tr(A) = 3 y det(A) = −4 + 6 = 2: P(λ) = λ² − 3λ + 2 = (λ − 1)(λ − 2).

λ = 1: A − I = [[3, −3], [2, −2]] → x = y → (1, 1)
λ = 2: A − 2I = [[2, −3], [2, −3]] → 2x = 3y → (3, 2)
C = [[1, 3], [1, 2]] D = [[1, 0], [0, 2]] det(C) = −1 C⁻¹ = [[−2, 3], [1, −1]]

La potencia. D⁸ = [[1, 0], [0, 256]], y

C·D⁸ = [[1, 768], [1, 512]]
A⁸ = C·D⁸·C⁻¹ = [[1·(−2) + 768·1, 1·3 + 768·(−1)], [1·(−2) + 512·1, 1·3 + 512·(−1)]] = [[766, −765], [510, −509]]

Controles. tr(A⁸) = 766 − 509 = 257 = 1⁸ + 2⁸ ✔ y det(A⁸) = 766·(−509) + 765·510 = 256 = (det A)⁸ ✔. Con n genérico: Aⁿ = [[3·2ⁿ − 2, 3 − 3·2ⁿ], [2ⁿ⁺¹ − 2, 3 − 2ⁿ⁺¹]], que con n = 1 devuelve A ✔.
Dónde se pierde: en elevar cada entrada de A a la octava, y en escribir C⁻¹·D⁸·C.

Dónde se cae la mayoría

Dar como autovector de f el autovector de M_B(f) tal cual, sin pasarlo de coordenadas a vector. Sólo coinciden si B es la canónica.
Buscar autovalores de M_BB′(f) con B ≠ B′. Primero hay que llevarla a una sola base con un cambio de base.
Armar M_B(f) poniendo las coordenadas de f(vⱼ) en las filas. Van en las columnas.
Escribir Aⁿ = C⁻¹·Dⁿ·C. El orden es el mismo que en A = C·D·C⁻¹: C a la izquierda y C⁻¹ a la derecha.
Elevar cada entrada de A a la n. Eso sólo vale para matrices diagonales: por eso hace falta diagonalizar primero.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Segundo parcial — Diagonalizable según k, y la novena potencia25 puntos · resuelto paso a paso

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