Álgebra (27) · Unidad 6 — Números complejos y polinomios

Polinomios: operaciones, división y teorema del resto

Los polinomios se dividen como los enteros: P = Q · C + R, con el resto de grado menor que el divisor. Cuando el divisor es x − z, el resto es un número y se calcula sin dividir: es P(z).

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La explicación

Qué es un polinomio

Un polinomio con coeficientes en K (que acá es ℚ, ℝ o ℂ) es una expresión

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ, a_j ∈ K

y K[x] es el conjunto de todos ellos. Si P ≠ 0 y a_n ≠ 0, n es el grado, gr(P), y a_n es el coeficiente principal; si vale 1, P es mónico. El polinomio nulo no tiene grado. Los polinomios forman un espacio vectorial, igual que las matrices: se suman coeficiente a coeficiente y se multiplican por escalares.

Dos polinomios son iguales si y sólo si tienen los mismos coeficientes, uno por uno. Eso convierte una igualdad de polinomios en un sistema de ecuaciones: para que a(x² − 1) + b(x + 1) sea igual a 3x² + 2x − 1 hay que pedir a = 3, b = 2 y −a + b = −1, y las tres se cumplen a la vez.

El grado de una suma y de un producto

gr(P · Q) = gr(P) + gr(Q) gr(P + Q) ≤ máx{gr(P), gr(Q)}

En el producto los grados se suman siempre, porque el producto de los dos coeficientes principales no es cero. En la suma puede haber cancelación: si P y Q tienen el mismo grado y coeficientes principales opuestos, la suma baja de grado.

Especializar y raíces

Especializar P en un número z es reemplazar x por z: P(z) es un número de K. Se dice que z es raíz de P si P(z) = 0. Especializar en un complejo es igual que en un real, con i² = −1: si P(x) = x² + 1, P(i) = 0 y P(1 + i) = 1 + 2i.

El algoritmo de división

Dados P y Q ≠ 0 en K[x], existen únicos C (cociente) y R (resto) tales que

P = Q · C + R, con R = 0 ó gr(R) < gr(Q)

Cómo se divide, a mano. 1) Ordená los dos polinomios de mayor a menor grado y completá con ceros los términos que faltan en P. 2) Dividí el término principal de P por el de Q: es el primer término del cociente. 3) Multiplicalo por Q y restáselo a P (los signos se dan vuelta todos). 4) Con lo que queda repetí, hasta que su grado sea menor que el de Q: eso es el resto. 5) Control: Q · C + R tiene que reconstruir P.

Si el resto es 0 se dice que Q divide a P y se escribe Q | P: P = Q · C.

El teorema del resto

Si se divide por x − z, el resto tiene grado menor que 1: es un número R. Especializando la identidad P(x) = (x − z)C(x) + R en x = z, el primer término se anula:

el resto de dividir P por x − z es P(z)
z es raíz de P ⟺ (x − z) | P

Ojo con el signo: para dividir por x + 3 se evalúa en −3, porque x + 3 = x − (−3). Para conseguir el cociente por x − z sin hacer la división larga está la regla de Ruffini: se baja el primer coeficiente, se multiplica por z, se suma al siguiente, y así; el último número es P(z).

El resto de dividir por un polinomio de grado 2

La misma idea funciona con divisores más grandes. Si Q = (x − z₁)(x − z₂) con z₁ ≠ z₂, el resto es de la forma R(x) = ax + b, y especializando P = Q · C + R en las raíces de Q:

R(z₁) = P(z₁) y R(z₂) = P(z₂)

Dos ecuaciones para a y b, sin conocer el cociente. Las raíces pueden ser complejas: para dividir por x² + 1 alcanza con saber cuánto vale P(i).

Con la misma lógica se construye un polinomio que pase por puntos dados: por n + 1 puntos con abscisas distintas pasa un único polinomio de grado a lo sumo n (el interpolador de Lagrange). Por dos puntos, una recta; por tres, a lo sumo una parábola.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Dividir P(x) = 3x⁴ − 2x³ + x − 4 por Q(x) = x² − x + 2, y verificar el resultado de dos maneras.

Preparación. A P le falta el término en x²: se escribe 3x⁴ − 2x³ + 0x² + x − 4, para que cada potencia tenga su columna.

Primer paso. 3x⁴ / x² = 3x². Se multiplica y se resta:

3x² · Q = 3x⁴ − 3x³ + 6x²
(3x⁴ − 2x³ + 0x² + x − 4) − (3x⁴ − 3x³ + 6x²) = x³ − 6x² + x − 4

Segundo paso. x³ / x² = x:

x · Q = x³ − x² + 2x → (x³ − 6x² + x − 4) − (x³ − x² + 2x) = −5x² − x − 4

Tercer paso. −5x² / x² = −5:

−5 · Q = −5x² + 5x − 10 → (−5x² − x − 4) − (−5x² + 5x − 10) = −6x + 6

Lo que queda tiene grado 1, menor que gr(Q) = 2: se terminó.

C(x) = 3x² + x − 5 R(x) = −6x + 6

Verificación 1, reconstruyendo P:

(x² − x + 2)(3x² + x − 5) = 3x⁴ − 2x³ + 0x² + 7x − 10
3x⁴ − 2x³ + 7x − 10 + (−6x + 6) = 3x⁴ − 2x³ + x − 4 ✔

Verificación 2, en un número. La identidad P = Q · C + R vale para todo x; con x = 1: P(1) = −2, y Q(1) · C(1) + R(1) = 2 · (−1) + 0 = −2 ✔. Es el control más barato: un error de signo en cualquier paso casi seguro lo rompe.

Dónde se equivoca la mayoría: en el segundo paso, al restar −x² hay que sumar x², y −6x² + x² = −5x². Si ahí sale −7x², todo lo que sigue arrastra el error. Escribir la resta con paréntesis, como arriba, evita el problema.

Y uno del nivel del parcial

Hallar el resto de dividir P(x) = x²³ − 2x¹⁰ + 3x por x² + 1, sin hacer la división.

La forma del resto. Se divide por un polinomio de grado 2, así que R(x) = ax + b. Escribiendo P = (x² + 1) · C + R y especializando en una raíz de x² + 1, el primer término se anula. Las raíces de x² + 1 son i y −i.

P(i). Con las potencias de i, que se repiten cada 4:

i²³ = i³ = −i (23 = 4 · 5 + 3)
i¹⁰ = i² = −1 (10 = 4 · 2 + 2)
P(i) = −i − 2(−1) + 3i = 2 + 2i

Igualando. R(i) = ai + b tiene que ser 2 + 2i. Como a y b son reales (P tiene coeficientes reales, y entonces el cociente y el resto también), se igualan partes:

b = 2, a = 2 → R(x) = 2x + 2

Control con la otra raíz. P(−i) = (−i)²³ − 2(−i)¹⁰ + 3(−i) = i + 2 − 3i = 2 − 2i, y R(−i) = −2i + 2 ✔. Por qué funciona: para P(i) sólo importan los restos de los exponentes al dividir por 4; es la misma idea que el teorema del resto, con un divisor de grado 2. Hacer la división de verdad serían más de veinte pasos.

Dónde se pierde: en dar como resto el número P(i) = 2 + 2i. El resto es un polinomio de grado menor que 2, y P(i) es sólo su valor en i.

Dónde se cae la mayoría

Evaluar en el número que aparece en el divisor: para el resto de dividir por x + 4 se evalúa en −4, no en 4.
No completar con ceros los términos que faltan antes de dividir: las columnas se corren y todo el cociente sale mal.
Restar sólo el primer término al hacer cada paso de la división. Se resta el producto entero, y todos sus signos se dan vuelta.
Seguir dividiendo cuando el resto ya tiene grado menor que el divisor, o frenar antes de que lo tenga.
Dar el resto de dividir por un polinomio de grado 2 como un número suelto: en general es ax + b, de grado 1.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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