Álgebra (27) · Unidad 6 — Números complejos y polinomios

Forma trigonométrica y exponencial

Todo complejo no nulo queda determinado por su módulo (cuánto mide) y su argumento (hacia dónde apunta). En esa forma multiplicar es fácil: los módulos se multiplican y los argumentos se suman.

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La explicación

Coordenadas polares de un complejo

Un punto (a, b) distinto del origen se puede dar por sus coordenadas cartesianas o por dos datos geométricos: la distancia al origen, r = |z|, y el ángulo θ que forma la flecha con el semieje real positivo, medido en sentido antihorario. Como (a, b)/r es un punto de la circunferencia unitaria, es (cos θ, sen θ), y entonces

a = |z| cos(θ) b = |z| sen(θ)
z = |z| (cos(θ) + i sen(θ))

Muchos ángulos dan el mismo punto, porque seno y coseno tienen período 2π. Para que la escritura sea única se elige el que cae en [0, 2π) y se lo llama argumento, arg(z). El 0 no tiene argumento: su módulo es 0 y no apunta a ningún lado.

Cómo se calcula el argumento

Tres pasos, siempre en este orden. 1) Ubicá z en el plano y mirá el cuadrante. 2) Calculá cos θ = a/|z| y sen θ = b/|z|, y buscá en la tabla (π/6, π/4, π/3) el ángulo del primer cuadrante que tenga esos valores sin signo. 3) Llevalo al cuadrante correcto: π − α en el segundo, π + α en el tercero, 2π − α en el cuarto.

La calculadora es la trampa. arctg(b/a) devuelve un ángulo entre −π/2 y π/2, así que para −1 − i da π/4 (el mismo que para 1 + i) y para 1 − i da −π/4, que ni siquiera es un argumento. El cociente b/a pierde el cuadrante; mirar el dibujo lo recupera.

Los fáciles conviene sabérselos: los reales positivos tienen argumento 0, los negativos π, i tiene π/2 y −i tiene 3π/2.

Cuándo una expresión NO es la forma trigonométrica

En |z|(cos θ + i sen θ) el factor de adelante es el módulo, así que tiene que ser un real positivo, y los dos ángulos tienen que ser el mismo. −4(cos(π/5) + i sen(π/5)) no está en forma trigonométrica: −4 no es un módulo. Como −1 = cos π + i sen π, el signo menos se absorbe sumando π al ángulo: queda 4(cos(6π/5) + i sen(6π/5)).

Igualdad

r(cos θ + i sen θ) = t(cos α + i sen α) ⟺ r = t y θ = α + 2kπ, k ∈ ℤ

Módulos iguales, y ángulos iguales salvo vueltas enteras. Ese 2kπ es el que, en el tema siguiente, fabrica las n raíces n-ésimas.

Productos y cocientes: De Moivre

z · w = |z||w| (cos(α + β) + i sen(α + β))
z / w = (|z| / |w|) (cos(α − β) + i sen(α − β))
z̄ = |z| (cos(−α) + i sen(−α)) z⁻¹ = |z|⁻¹ (cos(−α) + i sen(−α))

Sale de las fórmulas del coseno y el seno de una suma. El ángulo que resulta puede quedar afuera de [0, 2π): para dar el argumento se le suma o se le resta 2π las veces que haga falta.

La lectura geométrica es la que queda: multiplicar por w es girar en un ángulo arg(w) y estirar por un factor |w|. Multiplicar por i gira 90° sin estirar; por 2i gira 90° y duplica. Así se transforman figuras enteras: rotar un triángulo alrededor del origen es multiplicar cada vértice por el mismo complejo de módulo 1.

La notación exponencial

e^iθ = cos θ + i sen θ z = |z| e^iθ

Es una abreviatura, y es la más cómoda porque las reglas de De Moivre pasan a ser las de las potencias: e^iα · e^iβ = e^i(α+β), y el conjugado de e^iα es e^−iα. Por ejemplo e^iπ = −1 y e^iπ/2 = i.

Para sumar y restar, la binómica. Para multiplicar, dividir y elevar, la trigonométrica. Buena parte del oficio es saber en qué momento pasar de una a la otra.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Escribir en forma trigonométrica z = −2√3 − 2i y w = 3i. Calcular z · w y z / w en forma trigonométrica y en forma binómica.

z = −2√3 − 2i. Está en el tercer cuadrante (las dos partes negativas).

|z| = √(12 + 4) = 4 cos θ = −√3/2, sen θ = −1/2

Sin signo, esos valores son los de π/6. En el tercer cuadrante el ángulo es π + π/6:

z = 4(cos(7π/6) + i sen(7π/6))

w = 3i está sobre el semieje imaginario positivo: w = 3(cos(π/2) + i sen(π/2)).

El producto. Módulos multiplicados, argumentos sumados:

z · w = 12(cos(7π/6 + π/2) + i sen(7π/6 + π/2)) = 12(cos(5π/3) + i sen(5π/3))

En binómica, con cos(5π/3) = 1/2 y sen(5π/3) = −√3/2: z · w = 6 − 6√3 i.

El cociente. Módulos divididos, argumentos restados:

z / w = (4/3)(cos(7π/6 − π/2) + i sen(7π/6 − π/2)) = (4/3)(cos(2π/3) + i sen(2π/3))

En binómica: (4/3)(−1/2 + (√3/2)i) = −2/3 + (2√3/3)i.

Control por el otro camino. En binómica, (−2√3 − 2i)(3i) = −6√3 i − 6i² = 6 − 6√3 i ✔. Y para el cociente, dividir por 3i es multiplicar por −i/3: (−2√3 − 2i)(−i)/3 = (2√3 i + 2i²)/3 = −2/3 + (2√3/3)i ✔. Las dos formas tienen que coincidir siempre; si no coinciden, casi seguro el error está en el cuadrante del argumento.

Fijate el efecto geométrico: multiplicar por 3i giró a z un cuarto de vuelta, del tercer cuadrante al cuarto, y lo hizo tres veces más largo.

Y uno del nivel del parcial

Sean z = 1 − i y w = −√3 + i. a) Escribirlos en forma trigonométrica. b) Calcular z · w de dos maneras, en forma binómica y en forma trigonométrica. c) Deducir los valores exactos de cos(7π/12) y sen(7π/12).

a) z = 1 − i está en el cuarto cuadrante, con |z| = √2 y ángulo de referencia π/4: z = √2(cos(7π/4) + i sen(7π/4)). w = −√3 + i está en el segundo, con |w| = 2 y referencia π/6: w = 2(cos(5π/6) + i sen(5π/6)).

b) En binómica:

(1 − i)(−√3 + i) = −√3 + i + √3 i − i² = (1 − √3) + (1 + √3)i

En trigonométrica: módulo 2√2 y ángulo 7π/4 + 5π/6 = 31π/12. Como pasa de 2π, se le resta una vuelta: 31π/12 − 24π/12 = 7π/12.

z · w = 2√2 (cos(7π/12) + i sen(7π/12))

c) Las dos escrituras son el mismo número, así que sus partes reales e imaginarias coinciden:

2√2 cos(7π/12) = 1 − √3 → cos(7π/12) = (1 − √3)/(2√2) = (√2 − √6)/4
2√2 sen(7π/12) = 1 + √3 → sen(7π/12) = (1 + √3)/(2√2) = (√2 + √6)/4

Controles. 7π/12 = 105° está en el segundo cuadrante: el coseno tiene que dar negativo (≈ −0,259) y el seno positivo (≈ 0,966) ✔. Y la suma de sus cuadrados: (8 − 4√3)/16 + (8 + 4√3)/16 = 1 ✔. Dónde se pierde: en el argumento de z (poner −π/4 o π/4 en lugar de 7π/4) y en no reducir 31π/12 antes de leer en qué cuadrante cae.

Dónde se cae la mayoría

Dar como argumento lo que devuelve arctg(b/a) sin mirar el cuadrante: para −1 − √3 i sale π/3, y el argumento es 4π/3.
Aceptar como forma trigonométrica una expresión con un número negativo (o con i) adelante. El factor de adelante es el módulo: tiene que ser real y positivo.
Multiplicar los argumentos en vez de sumarlos. En el producto los módulos se multiplican y los ángulos se suman.
Dejar un ángulo fuera de [0, 2π), como −π/3 o 13π/6, y darlo como argumento. Sirve para operar, pero el argumento es el representante en [0, 2π).
Querer sumar dos complejos en forma trigonométrica sumando módulos y ángulos. Para la suma no hay atajo: se pasa a binómica.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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