Álgebra (27) · Unidad 4 — Espacios vectoriales

Combinaciones lineales y generadores

Con unos pocos vectores se arma un subespacio entero: todas sus combinaciones lineales. Saber pasar de esos generadores a las ecuaciones del subespacio, y de las ecuaciones a los generadores, es la herramienta de toda la unidad.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Combinación lineal

Dados v₁, …, v_r en un espacio vectorial V, una combinación lineal de ellos es cualquier vector de la forma

a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_rv_r, con a₁, …, a_r ∈ ℝ

Por ejemplo, 2·(1, 0, 1) − (0, 1, 1) = (2, −1, 1) es combinación lineal de (1, 0, 1) y (0, 1, 1). Y el vector nulo es combinación de cualquier lista: basta tomar todos los coeficientes iguales a cero.

El subespacio generado

⟨v₁, …, v_r⟩ = { a₁v₁ + … + a_rv_r / a₁, …, a_r ∈ ℝ }

Son todas las combinaciones posibles de esos vectores, y siempre forman un subespacio: la suma de dos combinaciones es otra combinación (se suman los coeficientes) y un múltiplo también (se multiplican). Además es el más chico que contiene a los v_i: cualquier subespacio que los tenga está obligado a tener todas sus combinaciones. Se dice que {v₁, …, v_r} es un conjunto de generadores de ese subespacio.

La imagen. En ℝ³, ⟨v⟩ con v ≠ 0 es la recta por el origen con dirección v. ⟨u, v⟩ con u y v no paralelos es el plano por el origen que los contiene: es la forma paramétrica λu + μv que ya conocías, sin punto de paso. Y ⟨u, v, w⟩ puede ser un plano (si w está en el de u y v) o ℝ³ entero. Más generadores no quiere decir un subespacio más grande: depende de si el nuevo aporta una dirección que no estaba.

¿Está w en ⟨v₁, …, v_r⟩?

Es preguntar si existen a₁, …, a_r con a₁v₁ + … + a_rv_r = w. Igualando coordenadas queda un sistema lineal cuyas incógnitas son los coeficientes y cuya matriz tiene a los generadores como columnas.

w ∈ ⟨v₁, …, v_r⟩ ⟺ el sistema [v₁ … v_r │ w] es compatible

No hace falta que la solución sea única: con una alcanza. Y siempre se verifica armando la combinación con los coeficientes que salieron.

De las ecuaciones a los generadores

Si S viene dado por ecuaciones lineales homogéneas, se resuelve el sistema y se escribe la solución general separando las variables libres. Cada variable libre aporta un generador. Con S = {x ∈ ℝ³ / x₁ − 3x₂ + x₃ = 0}:

x₁ = 3x₂ − x₃ → x = (3x₂ − x₃, x₂, x₃) = x₂(3, 1, 0) + x₃(−1, 0, 1)
S = ⟨(3, 1, 0), (−1, 0, 1)⟩

De los generadores a las ecuaciones

Es el camino inverso, y el que más se pide. Se escribe el sistema de «¿está x en S?» con un x genérico y se escalona arrastrando x₁, x₂, … en la columna de la derecha. Las filas que se anulan del lado izquierdo tienen que anularse también del derecho, y eso es exactamente lo que cumplen los vectores de S.

Procedimiento.
1. Armá la matriz con los generadores como columnas y (x₁, …, x_n) a la derecha.
2. Escalonala. Del lado derecho van quedando expresiones en las x.
3. Cada fila que quedó en cero del lado izquierdo da una ecuación: su lado derecho = 0.
4. Controlá que cada generador cumpla las ecuaciones que encontraste. Si uno no las cumple, hubo un error de cuentas.
5. Contá: de ℝⁿ, con r generadores independientes, salen n − r ecuaciones.

En ℝ³, con dos generadores no paralelos, hay un control más: el producto vectorial de los dos es la normal del plano, y tiene que coincidir (a menos de un múltiplo) con los coeficientes de la ecuación.

¿Generan todo el espacio?

C genera ℝⁿ si el sistema de «¿está x?» es compatible para todo x: al escalonar no aparece ninguna fila nula del lado izquierdo, o sea, el rango de la matriz de generadores es n. Si aparece una, esa condición es justamente la ecuación del subespacio que sí generan.

Contención. Para ver que S = ⟨v₁, …, v_r⟩ está contenido en un subespacio H dado por ecuaciones, alcanza con que los generadores cumplan las ecuaciones de H: si ellos están, sus combinaciones también.

En otros espacios

Todo vale igual con matrices o polinomios. En ℝ^2×2, ⟨[[1, 0], [0, 0]], [[0, 1], [1, 0]]⟩ son las matrices [[a, b], [b, 0]]: las simétricas con a₂₂ = 0. Y con polinomios, ⟨x², x⟩ son los de la forma ax² + bx: los que no tienen término independiente, o sea los que cumplen p(0) = 0.

Generadores y ecuaciones son dos descripciones del mismo subespacio. Los generadores sirven para fabricar vectores de S; las ecuaciones, para decidir en un renglón si un vector está.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sea S = ⟨(1, 2, −1), (0, 1, 3)⟩. a) Decidí si w₁ = (2, 7, 7) y w₂ = (2, 7, 4) pertenecen a S. b) Hallá una ecuación implícita de S.

Hago las dos cosas de una vez, con un x = (x₁, x₂, x₃) genérico: ¿existen a y b con a(1, 2, −1) + b(0, 1, 3) = (x₁, x₂, x₃)? Los generadores van como columnas:

⎡ 1 0 │ x₁ ⎤
⎢ 2 1 │ x₂ ⎥ F₂ − 2F₁, F₃ + F₁ → (0, 1 │ x₂ − 2x₁), (0, 3 │ x₃ + x₁)
⎣ −1 3 │ x₃ ⎦

F₃ − 3F₂ → (0, 0 │ x₃ + x₁ − 3(x₂ − 2x₁)) = (0, 0 │ 7x₁ − 3x₂ + x₃)

La última fila quedó nula del lado izquierdo, así que el sistema es compatible si y sólo si 7x₁ − 3x₂ + x₃ = 0. Ésa es la respuesta de b):

S = { x ∈ ℝ³ / 7x₁ − 3x₂ + x₃ = 0 }

a) Ahora decidir es reemplazar:

w₁ = (2, 7, 7): 14 − 21 + 7 = 0 → w₁ ∈ S
w₂ = (2, 7, 4): 14 − 21 + 4 = −3 ≠ 0 → w₂ ∉ S

Para w₁ conviene encontrar además los coeficientes, que salen del sistema escalonado: a = x₁ = 2 y b = x₂ − 2x₁ = 7 − 4 = 3. Verificación: 2(1, 2, −1) + 3(0, 1, 3) = (2, 4 + 3, −2 + 9) = (2, 7, 7) ✔.

Tres controles, cada uno por un camino distinto.
1. Los generadores cumplen la ecuación: 7 − 6 − 1 = 0 y 0 − 3 + 3 = 0 ✔.
2. El producto vectorial (1, 2, −1) × (0, 1, 3) = (2·3 − (−1)·1, (−1)·0 − 1·3, 1·1 − 2·0) = (7, −3, 1): es la normal, y coincide con los coeficientes ✔.
3. Cuenta de ecuaciones: ℝ³ con dos generadores independientes da 3 − 2 = 1 ecuación ✔.

Fijate la ventaja: para w₂ no hizo falta volver a escalonar. Con la ecuación en la mano, cada vector nuevo se decide en un renglón.

Y uno del nivel del parcial

Sea S = ⟨(1, 0, 2, −1), (0, 1, −1, 3)⟩ ⊂ ℝ⁴. a) Describí S con ecuaciones implícitas. b) Decidí si v = (3, −1, 7, −6) pertenece a S y, si pertenece, escribilo como combinación de los generadores.

a) Planteo a(1, 0, 2, −1) + b(0, 1, −1, 3) = (x₁, x₂, x₃, x₄). Igualando coordenadas:

a = x₁, b = x₂, 2a − b = x₃, −a + 3b = x₄

Las dos primeras ya despejan a y b. Reemplazando en las otras dos aparecen las condiciones sobre x (es lo mismo que escalonar, pero acá el sistema viene casi resuelto):

2x₁ − x₂ − x₃ = 0
−x₁ + 3x₂ − x₄ = 0

Son ℝ⁴ con dos generadores independientes (no son múltiplos: las dos primeras coordenadas lo muestran), así que tenían que salir 4 − 2 = 2 ecuaciones ✔.

Control con los generadores: (1, 0, 2, −1): 2 − 0 − 2 = 0 y −1 + 0 + 1 = 0 ✔. (0, 1, −1, 3): 0 − 1 + 1 = 0 y 0 + 3 − 3 = 0 ✔.

b) Reemplazo v = (3, −1, 7, −6):

2·3 − (−1) − 7 = 0 ✔ −3 + 3·(−1) − (−6) = 0 ✔ → v ∈ S

Los coeficientes son a = x₁ = 3 y b = x₂ = −1:

3(1, 0, 2, −1) − (0, 1, −1, 3) = (3, −1, 6 + 1, −3 − 3) = (3, −1, 7, −6) ✔

Dónde se pierde el punto. En dar una sola ecuación: con una sola, el conjunto de soluciones en ℝ⁴ tiene dimensión 3 y es más grande que S. Y en no controlar con los generadores, que es gratis y detecta casi cualquier error de signo.

Dónde se cae la mayoría

Poner los generadores como FILAS del sistema de «¿está w?». Van como columnas: las incógnitas son los coeficientes, uno por generador.
Creer que agregar un generador siempre agranda el subespacio. Si el nuevo es combinación de los otros, el subespacio generado es el mismo.
Al pasar de generadores a ecuaciones, quedarse con el sistema escalonado en vez de leer las filas que se anulan. Las ecuaciones de S son las condiciones de compatibilidad.
No controlar las ecuaciones con los generadores. Si un generador no cumple la ecuación que salió, hay un error de cuentas seguro.
Concluir que w no está porque el primer par de coeficientes que se probó no andaba. Hay que resolver el sistema, no tantear.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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