Álgebra (27) · Unidad 4 — Espacios vectoriales

Intersección y suma de subespacios

La intersección de dos subespacios es lo que tienen en común; la suma, todo lo que se arma sumando un vector de cada uno. Las dimensiones se relacionan con una fórmula: lo que está en los dos se contaría dos veces. Si la intersección es sólo el 0, la suma es directa.

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La explicación

Intersección

S ∩ T = { v ∈ V / v ∈ S y v ∈ T }

Siempre es un subespacio: el 0 está en los dos, y si v y w están en los dos, v + w y c·v también, porque cada uno de los dos es cerrado. Y como está adentro de cada uno, dim(S ∩ T) ≤ dim(S) y dim(S ∩ T) ≤ dim(T).

Cómo se calcula depende de cómo vienen dados:

Los dos por ecuaciones: se juntan todas las ecuaciones en un solo sistema. S ∩ T son sus soluciones.

Uno por generadores y otro por ecuaciones: se escribe el vector genérico del que tiene generadores, x = a·s₁ + b·s₂ + …, y se lo reemplaza en las ecuaciones del otro. Salen condiciones sobre a, b, …; se despejan y se vuelven a meter en x.

Los dos por generadores: se pasa uno de los dos a ecuaciones (tema 4.2) y se sigue como en el caso anterior.

Control: los generadores que salgan de S ∩ T tienen que estar en S y en T. Probalo con los dos.

La unión no es un subespacio

S ∪ T, «los que están en uno o en otro», casi nunca es subespacio. En ℝ² con S = eje x y T = eje y, (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) no está en ninguno de los dos ejes. Para tener algo cerrado hay que agregar todas esas sumas, y eso es la suma de subespacios.

Suma

S + T = { s + t / s ∈ S, t ∈ T }
si S = ⟨s₁, …, s_p⟩ y T = ⟨t₁, …, t_q⟩, entonces S + T = ⟨s₁, …, s_p, t₁, …, t_q⟩

Es el subespacio más chico que contiene a S y a T. Los generadores se juntan, pero la unión de dos bases no tiene por qué ser base de la suma: si S y T comparten algo, sobran vectores, y hay que extraer (tema 4.5).

El teorema de la dimensión

dim(S + T) = dim(S) + dim(T) − dim(S ∩ T)

Es la fórmula de contar elementos de dos conjuntos que se superponen: lo que está en los dos se contaría dos veces, así que se resta una. Y tiene consecuencias que no necesitan cuentas. Dos planos por el origen en ℝ³: dim(S + T) ≤ 3, así que dim(S ∩ T) ≥ 2 + 2 − 3 = 1. Dos planos por el origen siempre se cortan en, por lo menos, una recta. En ℝ⁶, un subespacio de dimensión 3 y otro de dimensión 4 comparten algo más que el 0, por el mismo motivo.

Suma directa

S + T es directa, S ⊕ T, si S ∩ T = {0}
V = S ⊕ T ⟺ S + T = V y S ∩ T = {0}

Lo que la hace especial es la unicidad: si V = S ⊕ T, cada v ∈ V se escribe de una sola manera como un vector de S más uno de T. Si la intersección tuviera un w ≠ 0, se podría pasar w de un lado al otro: s + t = (s + w) + (t − w), y habría infinitas descomposiciones. En la suma directa las dimensiones se suman, dim(S ⊕ T) = dim(S) + dim(T), y juntando una base de S con una de T sale una base de la suma.

La imagen. En ℝ³, un plano S por el origen y una recta T por el origen que no esté en S: se cortan sólo en el 0, y ℝ³ = S ⊕ T. Cada flecha del espacio se escribe como «una sombra sobre el plano» más «un pedazo en la dirección de la recta», de una única manera.

Descomponer v = s + t

Se escribe t genérico en T (por ejemplo, t = λ·t₁ si T es una recta) y se pide que s = v − t esté en S: reemplazando en las ecuaciones de S sale λ. Con la suma directa sale un solo valor; si la suma no fuera directa, quedaría un parámetro libre.

Un complemento. Dado S ⊆ V, para encontrar T con V = S ⊕ T se extiende una base de S a una de V: los vectores que se agregaron generan un T que sirve. No es único: otra extensión da otro T.

Intersección: juntar condiciones. Suma: juntar generadores y extraer. Y el puente entre las dos: dim(S + T) = dim(S) + dim(T) − dim(S ∩ T). Directa quiere decir que sólo comparten el 0.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sean S = {x ∈ ℝ³ / x₁ + 2x₂ − x₃ = 0} y T = ⟨(1, 1, 0), (0, 1, 1)⟩. Hallá S ∩ T y S + T, con una base y la dimensión de cada uno.

La intersección. S viene con ecuación y T con generadores: escribo el vector genérico de T y lo meto en la ecuación de S.

x = a(1, 1, 0) + b(0, 1, 1) = (a, a + b, b)
a + 2(a + b) − b = 3a + b = 0 → b = −3a

Vuelvo a meter la condición en el vector:

x = (a, a − 3a, −3a) = a·(1, −2, −3) → S ∩ T = ⟨(1, −2, −3)⟩, dim 1

Control: (1, −2, −3) está en S: 1 − 4 + 3 = 0 ✔. Y está en T: es 1·(1, 1, 0) − 3·(0, 1, 1) = (1, −2, −3) ✔.

La suma. S es un plano (dim 2) y T también: sus generadores no son paralelos. Por el teorema de la dimensión:

dim(S + T) = 2 + 2 − 1 = 3 → S + T = ℝ³

Una base es la canónica, o cualquier terna independiente. Si la quiero armada con vectores de S y de T: una base de S es {(1, 0, 1), (0, 1, 2)} (despejando x₃ = x₁ + 2x₂), y a esos dos les agrego uno de T que no esté en S, por ejemplo (1, 1, 0): 1 + 2 − 0 = 3 ≠ 0.

{(1, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 1, 0)}: det = 1·(0 − 2) − 0 + 1·(0 − 1) = −3 ≠ 0 ✔

Lo que no hay que hacer. Dar como base de S + T los cuatro vectores juntos (los dos de S y los dos de T): en ℝ³ cuatro vectores son siempre dependientes. La unión de las bases genera la suma, pero hay que extraer.
Lo que muestra la fórmula. Sin hacer ninguna cuenta ya se sabía que S ∩ T tenía dimensión al menos 1: son dos planos de ℝ³. La cuenta sólo dijo cuál es la recta.

Y uno del nivel del parcial

En ℝ⁴ sean S = ⟨(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)⟩ y T = {x ∈ ℝ⁴ / x₁ + x₃ = 0, x₂ + x₄ = 0}. a) Probá que ℝ⁴ = S ⊕ T. b) Partí v = (3, 1, 5, −1) en una parte s de S y una parte t de T.

a) La intersección. El vector genérico de S es (a, b, a, b). En las ecuaciones de T:

a + a = 0 y b + b = 0 → a = b = 0 → S ∩ T = {0}

Las dimensiones. dim(S) = 2 (generadores no paralelos) y dim(T) = 4 − 2 = 2 (dos ecuaciones independientes). Entonces dim(S + T) = 2 + 2 − 0 = 4 = dim(ℝ⁴), y S + T = ℝ⁴. Con la intersección nula: ℝ⁴ = S ⊕ T.

b) Busco s = (a, b, a, b) ∈ S tal que t = v − s esté en T:

t = (3 − a, 1 − b, 5 − a, −1 − b)
x₁ + x₃ = 0: (3 − a) + (5 − a) = 0 → a = 4
x₂ + x₄ = 0: (1 − b) + (−1 − b) = 0 → b = 0

s = (4, 0, 4, 0) t = (−1, 1, 1, −1)

Controles. s + t = (3, 1, 5, −1) = v ✔. t ∈ T: −1 + 1 = 0 y 1 − 1 = 0 ✔. s ∈ S: es 4·(1, 0, 1, 0) ✔.
Salió un único valor para a y otro para b: es la unicidad de la suma directa. Si S ∩ T no fuera {0}, alguna de las ecuaciones habría dejado un parámetro libre.
Un detalle que adelanta el tema que sigue: cada generador de S es perpendicular a cada vector de T. T es justamente el complemento ortogonal de S, y s es la proyección ortogonal de v sobre S.

Dónde se cae la mayoría

Confundir la suma con la unión. S ∪ T casi nunca es subespacio; S + T lo es siempre, y contiene sumas que no están en ninguno de los dos.
Dar como base de S + T la unión de las dos bases sin extraer. Si S ∩ T ≠ {0}, sobran vectores.
Sumar dimensiones sin restar la intersección: dos planos en ℝ³ no suman dimensión 4.
Decir que la suma es directa porque S + T = V. Directa es una condición sobre la intersección: S ∩ T = {0}.
En la intersección, reemplazar el vector genérico y quedarse con la condición sobre los coeficientes sin volver a meterla en el vector. La respuesta es un subespacio de vectores, no una relación entre a y b.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Segundo parcial — Intersección y suma en ℝ⁴25 puntos · resuelto paso a paso

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