Álgebra (27) · Unidad 4 — Espacios vectoriales
Subespacios
Un subespacio es un pedazo del espacio del que no te podés escapar sumando ni multiplicando por números. En ℝ² y ℝ³ son las rectas y los planos que pasan por el origen, y el primer control es siempre el mismo: ¿está el vector nulo?
La explicación
De qué se trata
Un espacio vectorial es un conjunto donde se puede sumar y multiplicar por números reales con las reglas de siempre: ℝ², ℝ³, ℝⁿ, las matrices ℝm×n, los polinomios. Adentro de cada uno hay conjuntos más chicos que, por sí solos, también se comportan como un espacio vectorial. Ésos son los subespacios.
1) el vector nulo 0 está en W
2) si u ∈ W y v ∈ W, entonces u + v ∈ W (cerrado por la suma)
3) si v ∈ W y c ∈ ℝ, entonces c·v ∈ W (cerrado por el producto por escalares)
Las condiciones 2) y 3) dicen que operando no te salís de W. La 1) en realidad está metida en la 3) (tomando c = 0), pero se pone aparte porque es la que más rápido descarta: si el 0 no está, no hay nada más que mirar.
La imagen que conviene tener: rectas y planos por el origen
En ℝ³ los subespacios son exactamente cuatro clases de cosas: el {0} solo, las rectas que pasan por el origen, los planos que pasan por el origen y ℝ³ entero. En ℝ² lo mismo sin los planos. Pensalo con la regla del paralelogramo: si u y v están en un plano por el origen, la diagonal u + v está en ese mismo plano, y estirar una flecha no la saca de su recta.
Por qué un plano corrido no sirve. Tomá Π: x₁ + x₂ + x₃ = 3. Los puntos (3, 0, 0) y (0, 3, 0) están en Π, pero su suma (3, 3, 0) da 3 + 3 + 0 = 6: se fue del plano. Y 2·(3, 0, 0) = (6, 0, 0) también da 6. El plano es paralelo a uno por el origen, pero la suma de dos de sus flechas «se pasa» una vez más del corrimiento. Por eso el 0 es el primer control: un plano que no pasa por el origen falla ahí y no hace falta más.
La forma que casi siempre dice que sí
Todo conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo es un subespacio:
porque A·0 = 0, A(u + v) = Au + Av = 0 + 0, A(c·v) = c·(Av) = c·0
Así que «una o varias ecuaciones lineales igualadas a cero» es sinónimo de subespacio, y no hace falta repetir la prueba cada vez. Lo mismo el conjunto de todos los múltiplos de un vector fijo, {λ·w / λ ∈ ℝ}: es la recta por el origen con dirección w.
Los que parecen y no son
Cada condición tiene su forma típica de fallar, y conviene reconocerlas de vista:
x₁ ≥ 0 falla el producto: multiplicar por −1 da vuelta la desigualdad
x₁·x₂ = 0 falla la suma: son los dos ejes, y (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) no está
x₂ = x₁² falla la suma y el producto: una parábola no es una recta
1. Reemplazá el 0. Si no cumple la condición, no es subespacio y terminaste.
2. Mirá la forma: si son ecuaciones lineales homogéneas (sin términos sueltos, sin productos entre coordenadas, sin cuadrados, sin desigualdades), es subespacio.
3. Si sospechás que no, buscá un contraejemplo concreto: dos elementos cuya suma se escapa, o uno y un número que lo sacan. Con uno alcanza.
4. Si sospechás que sí y no es de la forma del paso 2, probalo en general: con u y v cualesquiera de W y c cualquiera. Un ejemplo que funciona no prueba nada; un contraejemplo sí.
Más allá de ℝⁿ: matrices y polinomios
La definición no dice «flechas»: sirve en cualquier espacio vectorial. En ℝ2×2, {A / a₁₁ + a₂₂ = 0} (traza cero) y {A / A = Aᵗ} (simétricas) son subespacios, porque son ecuaciones lineales homogéneas en las entradas. En cambio {A / det(A) = 0} no lo es: las dos matrices [[1, 0], [0, 0]] y [[0, 0], [0, 1]] tienen determinante 0 y su suma es la identidad, que tiene determinante 1. El determinante no es lineal.
Con los polinomios de grado menor o igual que 2, que se suman y multiplican por números como es natural, {p / p(1) = 0} es subespacio: si p(1) = 0 y q(1) = 0, (p + q)(1) = 0. Pero «los de grado exactamente 2» no: (x² + x) + (−x² + 3) = x + 3, que tiene grado 1, y además el polinomio nulo ni siquiera tiene grado 2.
Subespacio = contiene al 0 y no se escapa operando. Ecuaciones lineales igualadas a cero lo garantizan; un término suelto, un producto o una desigualdad casi siempre lo rompen.
Decidí si cada conjunto es un subespacio. a) W₁ = {x ∈ ℝ³ / 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 0}. b) W₂ = {x ∈ ℝ³ / 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 4}. c) W₃ = {x ∈ ℝ³ / x₁·x₃ = 0}. d) W₄ = {A ∈ ℝ²ˣ² / a₁₂ = 2a₂₁}.
a) W₁. El 0 cumple: 2·0 − 0 + 3·0 = 0. Para la suma, tomo u y v cualesquiera de W₁, o sea con 2u₁ − u₂ + 3u₃ = 0 y 2v₁ − v₂ + 3v₃ = 0:
Y para el producto: 2(cu₁) − (cu₂) + 3(cu₃) = c·(2u₁ − u₂ + 3u₃) = c·0 = 0. Las tres condiciones valen para todos los u, v y c: W₁ es subespacio. Es un plano por el origen con normal (2, −1, 3).
b) W₂. El 0 da 2·0 − 0 + 3·0 = 0, y la ecuación pide 4. No es subespacio, y no hace falta mirar nada más. Es el plano paralelo a W₁ corrido: pasa por (2, 0, 0), por ejemplo, pero no por el origen.
c) W₃. El 0 cumple: 0·0 = 0. Pero la condición tiene un producto entre coordenadas, así que sospecho que falla la suma. Busco dos vectores que estén y cuya suma no:
u + v = (1, 0, 1): 1·1 = 1 ≠ 0 ✘
No es subespacio. W₃ es la unión de dos planos (x₁ = 0 y x₃ = 0), y la unión de dos subespacios casi nunca es un subespacio: la suma de una flecha de cada uno cae afuera de los dos.
d) W₄. Es una ecuación lineal homogénea en las entradas, a₁₂ − 2a₂₁ = 0, así que ya sé que es subespacio. Igual lo verifico con dos matrices para ver cómo funciona:
A + B = [[1, 2], [1, 5]]: 2 = 2·1 ✔
Sea M = [[1, 2], [0, 1]]. a) Probá que W = {X ∈ ℝ²ˣ² / M·X = X·M} es un subespacio de ℝ²ˣ² y describí cómo son sus elementos. b) ¿Es un subespacio W′ = {X ∈ ℝ²ˣ² / M·X = X·M + I}?
a) Que es subespacio, en general. La matriz nula cumple: M·0 = 0 = 0·M. Si X e Y conmutan con M, la suma también, por la distributiva del producto de matrices:
M(cX) = c(MX) = c(XM) = (cX)M
Las tres condiciones valen: W es subespacio. Ahora, cómo son. Con X = [[a, b], [c, d]]:
Igualo lugar a lugar: a + 2c = a da c = 0; b + 2d = 2a + b da d = a; los otros dos lugares repiten c = 0. Entonces
Control: [[1, 5], [0, 1]] y [[−2, 3], [0, −2]] tienen esa forma, y las dos conmutan con M (la cuenta da igual de los dos lados). Su suma, [[−1, 8], [0, −1]], también tiene la forma.
b) W′. Pruebo el 0: M·0 = 0, pero 0·M + I = I. Como 0 ≠ I, W′ no es subespacio. El «+ I» cumple el mismo papel que el 4 de un plano corrido: un término que no depende de X.
Dónde se cae la mayoría
- Probar las condiciones con un par de vectores que funcionan y concluir que es subespacio. Un ejemplo no demuestra; para decir que sí hay que hacerlo con u y v cualesquiera.
- Decir que un plano es subespacio porque «es un plano». Si no pasa por el origen, el 0 no está y se cae en la primera condición.
- Olvidarse de probar el producto por escalares NEGATIVOS. Un semiplano como x₁ ≥ 0 aguanta las sumas y los c positivos, y se rompe con c = −1.
- Creer que x₁·x₂ = 0 es lineal porque está igualado a cero. Lo que importa es que no haya productos entre coordenadas: eso son dos rectas, no un subespacio.
- Pensar que {A / det(A) = 0} es subespacio porque contiene a la matriz nula. El determinante de una suma no es la suma de los determinantes.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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