Álgebra (27) · Unidad 4 — Espacios vectoriales

Complemento ortogonal

El complemento ortogonal de S son todos los vectores perpendiculares a todo S. Se calcula pidiendo perpendicularidad sólo a los generadores, y es el puente entre ecuaciones y generadores: los coeficientes de las ecuaciones de S generan S⊥. Con él se proyecta y se miden distancias.

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La explicación

El producto interno en ℝⁿ

v · w = v₁w₁ + v₂w₂ + … + v_nw_n v y w son ortogonales si v · w = 0

Es el mismo de ℝ² y ℝ³, con más coordenadas. Cumple v · w = w · v, u · (v + w) = u · v + u · w y (λv) · w = λ(v · w). Y v · v = v₁² + … + v_n², que es ‖v‖² y sólo vale 0 si v = 0. A ℝⁿ con este producto se lo llama espacio euclídeo.

Complemento ortogonal

S⊥ = { x ∈ ℝⁿ / x · s = 0 para todo s ∈ S }

La definición pide perpendicularidad a todos los vectores de S, que son infinitos. Pero alcanza con los generadores: si x es perpendicular a s₁, …, s_r, lo es a cualquier combinación, porque x · (a₁s₁ + … + a_rs_r) = a₁(x · s₁) + … = 0.

S = ⟨s₁, …, s_r⟩ ⟹ S⊥ = { x / x · s₁ = 0, …, x · s_r = 0 }

O sea: S⊥ son las soluciones del sistema homogéneo que tiene por filas a los generadores de S. Por eso siempre es un subespacio, y como el rango de ese sistema es dim(S):

dim(S⊥) = n − dim(S)

La imagen

En ℝ³, el complemento de una recta ⟨N⟩ es el plano que tiene a N como normal; el de un plano por el origen es la recta de su normal. En ℝ², el de una recta es la recta perpendicular. Las dimensiones siempre completan: 1 + 2 = 3 en ℝ³, 1 + 1 = 2 en ℝ².

Ecuaciones y generadores, otra vez

Si S viene dado por ecuaciones, S = {x / x · a₁ = 0, …, x · a_m = 0}, donde a_i es el vector de coeficientes de la ecuación i. Entonces S es el complemento de ⟨a₁, …, a_m⟩, y como vale

(S⊥)⊥ = S

resulta: los vectores de coeficientes de las ecuaciones de S generan S⊥. Sin cuentas. Y al revés, para encontrar ecuaciones de un S dado por generadores, se busca una base de S⊥ y sus vectores son los coeficientes. Es otra forma de hacer el pasaje del tema 4.2.

S ⊕ S⊥ = ℝⁿ

Si v está en S y en S⊥, es perpendicular a sí mismo: v · v = 0, y eso obliga a v = 0. La intersección es {0}, las dimensiones suman n, así que ℝⁿ = S ⊕ S⊥. Todo vector se parte de una única manera en un pedazo en S y un pedazo perpendicular a S.

Proyección ortogonal y distancia

v = s₀ + t₀ con s₀ ∈ S, t₀ ∈ S⊥ → s₀ es la proyección ortogonal de v sobre S
s₀ es el punto de S más cercano a v, d(v, S) = ‖v − s₀‖ = ‖t₀‖

Es la sombra de v sobre S con la luz cayendo perpendicular. Cualquier otro punto de S está más lejos, por Pitágoras: la distancia a él es la hipotenusa de un triángulo con cateto t₀.

Procedimiento, según la dimensión.
S es una recta ⟨u⟩: s₀ = (v · u / u · u)·u, y t₀ = v − s₀.
S es un plano de ℝ³ (o, en general, S⊥ es una recta ⟨N⟩): conviene proyectar sobre la normal. t₀ = (v · N / N · N)·N, y después s₀ = v − t₀.
En general: escribir v = a₁s₁ + … + b₁t₁ + … con una base de S y una de S⊥ y resolver.
Controles: s₀ tiene que cumplir las ecuaciones de S, y t₀ tiene que ser perpendicular a cada generador de S.

S⊥ = perpendicular a los generadores de S. Sus dimensiones completan n, los coeficientes de las ecuaciones de S lo generan, y partir v en S ⊕ S⊥ da la proyección y la distancia.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sean S = ⟨(1, 1, 0), (0, 1, −1)⟩ y P = (3, 2, 4). a) Hallá S⊥. b) Hallá la proyección ortogonal Q de P sobre S y la distancia de P a S.

a) x ∈ S⊥ si es perpendicular a los dos generadores:

x · (1, 1, 0) = x₁ + x₂ = 0
x · (0, 1, −1) = x₂ − x₃ = 0

De la segunda, x₃ = x₂; de la primera, x₁ = −x₂. Entonces x = x₂·(−1, 1, 1):

S⊥ = ⟨(−1, 1, 1)⟩ dim(S⊥) = 3 − 2 = 1 ✔

Control por otro camino: el producto vectorial (1, 1, 0) × (0, 1, −1) = (1·(−1) − 0·1, 0·0 − 1·(−1), 1·1 − 1·0) = (−1, 1, 1), la normal del plano ✔. De paso, S = {x / −x₁ + x₂ + x₃ = 0}.

b) S es un plano y S⊥ una recta, así que conviene proyectar P sobre N = (−1, 1, 1):

P · N = −3 + 2 + 4 = 3 N · N = 1 + 1 + 1 = 3
t₀ = (3/3)·N = (−1, 1, 1) Q = P − t₀ = (3, 2, 4) − (−1, 1, 1) = (4, 1, 3)

d(P, S) = ‖t₀‖ = √(1 + 1 + 1) = √3

Controles.
1. Q ∈ S: −4 + 1 + 3 = 0 ✔. Y con los generadores: Q = 4(1, 1, 0) − 3(0, 1, −1) = (4, 1, 3) ✔.
2. P − Q = (−1, 1, 1) es perpendicular a los dos generadores: −1 + 1 + 0 = 0 y 0 + 1 − 1 = 0 ✔.
3. Pitágoras: ‖P‖² = 29 = ‖Q‖² + ‖P − Q‖² = 26 + 3 ✔.

Fijate que no hizo falta resolver un sistema de tres incógnitas: con S⊥ de dimensión 1, una sola división da todo.

Y uno del nivel del parcial

Sea T = ⟨(1, 2, 0, −1), (0, 1, 1, 1)⟩ ⊂ ℝ⁴. a) Hallá una base de T⊥. b) Usala para escribir T con ecuaciones implícitas.

a) T⊥ son las soluciones del sistema cuyas filas son los generadores de T:

x₁ + 2x₂ − x₄ = 0
x₂ + x₃ + x₄ = 0

Ya está escalonado; las libres son x₃ y x₄. De la segunda, x₂ = −x₃ − x₄; en la primera, x₁ = −2x₂ + x₄ = 2x₃ + 3x₄.

x = x₃(2, −1, 1, 0) + x₄(3, −1, 0, 1) → T⊥ = ⟨(2, −1, 1, 0), (3, −1, 0, 1)⟩, dim 2

b) Como T = (T⊥)⊥, un vector está en T si y sólo si es perpendicular a la base de T⊥. Los vectores de esa base son los coeficientes:

T = { x ∈ ℝ⁴ / 2x₁ − x₂ + x₃ = 0, 3x₁ − x₂ + x₄ = 0 }

Control con los generadores de T. (1, 2, 0, −1): 2 − 2 + 0 = 0 y 3 − 2 − 1 = 0 ✔. (0, 1, 1, 1): 0 − 1 + 1 = 0 y 0 − 1 + 1 = 0 ✔. Y las cuentas cierran: 2 ecuaciones independientes en ℝ⁴ dan dimensión 2 = dim(T).
Dónde se pierde el punto: en dar como ecuaciones de T las de T⊥ (las del paso a), que son justamente las que NO cumplen los vectores de T salvo el 0.

Dónde se cae la mayoría

Pedir perpendicularidad a un solo generador de S cuando S tiene varios. Hay que imponer x · sᵢ = 0 para cada uno.
Dar como generadores de S⊥ una base de S. Son cosas distintas: los generadores de S⊥ son los coeficientes de las ecuaciones de S, no sus soluciones.
Olvidar dividir por u · u (o por N · N) en la proyección. Sin eso, el resultado sólo es correcto si el vector tiene norma 1.
Dar como distancia ‖v‖ o ‖s₀‖. La distancia de v a S es la longitud de la parte perpendicular, ‖v − s₀‖.
Calcular dim(S⊥) como la de S. Se completan: dim(S) + dim(S⊥) = n.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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