Álgebra (27) · Unidad 5 — Transformaciones lineales

Qué es una transformación lineal

Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que respeta las dos operaciones: la imagen de una suma es la suma de las imágenes, y los escalares salen afuera. Todo lo demás de la unidad sale de esas dos reglas.

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La explicación

Las dos reglas

Sean V y W espacios vectoriales sobre ℝ. Una función f : V → W es una transformación lineal (t.l.) si cumple, para todos u, v ∈ V y todo k ∈ ℝ:

TL1: f(u + v) = f(u) + f(v)
TL2: f(k·v) = k·f(v)

Dicho en criollo: da lo mismo operar y después transformar que transformar y después operar. Por eso importan tanto: una t.l. lleva la estructura de V a W sin romperla. Dos ejemplos que valen siempre son la nula, O(v) = O, y la identidad, id(v) = v.

Qué se ve en el plano

Pensá una t.l. de ℝ² en ℝ² como algo que le pasa a la cuadrícula entera. Si es lineal:

· el origen no se mueve;
· las rectas siguen siendo rectas (o se aplastan en un punto), nunca se curvan;
· las paralelas siguen paralelas y los renglones de la cuadrícula siguen igual de espaciados.

Puede estirar, girar, reflejar, inclinar o aplastar. Lo que no puede es trasladar (sumar una constante) ni doblar (elevar al cuadrado, multiplicar coordenadas entre sí). Ojo con el nombre: la «función lineal» de la secundaria, y = 2x + 1, no es una transformación lineal, porque manda el 0 al 1. En álgebra a eso se lo llama afín.

Lo que sale gratis de la definición

f(O_V) = O_W f(−v) = −f(v) f(v − w) = f(v) − f(w)
f(a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_nv_n) = a₁f(v₁) + a₂f(v₂) + … + a_nf(v_n)

La primera sale de TL2 con k = 0: f(O) = f(0·v) = 0·f(v) = O. La última es la que más se usa: una t.l. transforma combinaciones lineales en combinaciones lineales con los mismos coeficientes. Es la razón por la que alcanza con saber qué hace f en una base (tema 5.4).

Cómo se prueba que una función ES lineal

1. Tomá vectores genéricos: u = (u₁, u₂, …), v = (v₁, v₂, …) y k ∈ ℝ. Con números concretos no se prueba nada: que ande en un caso no dice que ande en todos.
2. Calculá f(u + v) y, por otro lado, f(u) + f(v). Reordená hasta ver que son iguales.
3. Lo mismo con f(k·v) contra k·f(v).
Atajo que vale: si f(x) = A·x para una matriz A, es lineal por las propiedades del producto de matrices, A(x + y) = Ax + Ay y A(kx) = k·Ax. Y se puede probar que toda t.l. de ℝⁿ en ℝᵐ es de esa forma: cada coordenada de f(x) es una combinación de las x_i, sin constantes, sin potencias, sin productos entre coordenadas.

Cómo se prueba que NO lo es

1. Mirá f(O). Si no da el nulo, terminaste: no es lineal. Es el descarte más barato.
2. Si f(O) = O, eso no alcanza para decir que es lineal. Buscá un contraejemplo concreto: dos vectores con números para los que f(u + v) ≠ f(u) + f(v), o un escalar con f(kv) ≠ k·f(v).
3. Con que falle una vez alcanza. Los sospechosos de siempre: productos xy, cuadrados, módulos, raíces, senos, y términos constantes.

Por ejemplo, f(x) = |x| manda el 0 al 0, pero f(−1·1) = 1 y −1·f(1) = −1.

Más allá de ℝⁿ

La definición no habla de coordenadas, así que vale en cualquier espacio vectorial. En matrices: trasponer, f(X) = Xᵗ, y la traza, tr(X) = x₁₁ + x₂₂, son lineales; multiplicar a izquierda por una matriz fija, f(X) = A·X, también. El determinante no: det(2I) = 4 y 2·det(I) = 2. En polinomios (ℝ₂[x] son los de grado ≤ 2, junto con el nulo): derivar, p ↦ p′, y evaluar, p ↦ p(3), son lineales, porque la derivada de una suma es la suma de las derivadas y los escalares salen afuera. Elevar al cuadrado, p ↦ p², no.

Lineal quiere decir: el origen queda fijo, y las sumas y los escalares pasan a través de f sin cambiar.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Decidir si f : ℝ³ → ℝ², f(x, y, z) = (2x − z, x + 3y), es una transformación lineal. Después, decidir lo mismo para g(x, y, z) = (2x − z, x + 3y + 1).

f, TL1. Con u = (u₁, u₂, u₃) y v = (v₁, v₂, v₃) genéricos, u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃):

f(u + v) = (2(u₁ + v₁) − (u₃ + v₃), (u₁ + v₁) + 3(u₂ + v₂))
= (2u₁ − u₃, u₁ + 3u₂) + (2v₁ − v₃, v₁ + 3v₂) = f(u) + f(v) ✓

f, TL2. Con k ∈ ℝ, k·u = (ku₁, ku₂, ku₃):

f(k·u) = (2ku₁ − ku₃, ku₁ + 3ku₂) = k·(2u₁ − u₃, u₁ + 3u₂) = k·f(u) ✓

Se cumplen las dos para cualquier par de vectores, así que f es lineal. Más corto: cada coordenada es una combinación de x, y, z sin constantes, así que f(x) = A·x con

A = [[2, 0, −1], [1, 3, 0]]

y eso ya garantiza la linealidad.

Control con números (que no prueba, pero caza errores de cuenta): f(1, −1, 2) = (2 − 2, 1 − 3) = (0, −2), y f(2, −2, 4) = (4 − 4, 2 − 6) = (0, −4), que es justo el doble ✓.

g. Antes de hacer ninguna cuenta larga, el descarte rápido:

g(0, 0, 0) = (0, 0 + 0 + 1) = (0, 1) ≠ (0, 0)

Como toda t.l. manda el nulo al nulo, g no es lineal. Fijate que g es f corrida en (0, 1): es una traslación de algo lineal, y trasladar mueve el origen. La diferencia entre las dos fórmulas es un «+ 1», y alcanza para cambiar la respuesta.

Y uno del nivel del parcial

En cada caso, decidir si la función es una transformación lineal. a) tr : ℝ²ˣ² → ℝ, tr(X) = x₁₁ + x₂₂. b) d : ℝ²ˣ² → ℝ, d(X) = det(X). c) h : ℝ₂[x] → ℝ², h(p) = (p(1), p′(0)), donde ℝ₂[x] son los polinomios de grado ≤ 2 y el nulo. Para c, calcular además h(x² − 4x + 3).

a) La traza. Si X = (x_ij) e Y = (y_ij), la entrada (i, i) de X + Y es x_ii + y_ii, así que

tr(X + Y) = (x₁₁ + y₁₁) + (x₂₂ + y₂₂) = tr(X) + tr(Y) tr(kX) = kx₁₁ + kx₂₂ = k·tr(X)

Es lineal.

b) El determinante. d(O) = 0, así que el descarte rápido no sirve. Hace falta un contraejemplo:

d(2·I) = det [[2, 0], [0, 2]] = 4 pero 2·d(I) = 2

Falla TL2, así que no es lineal. También falla la suma: con E₁₁ = [[1, 0], [0, 0]] y E₂₂ = [[0, 0], [0, 1]], det(E₁₁ + E₂₂) = det(I) = 1, y det(E₁₁) + det(E₂₂) = 0 + 0 = 0. En un 2×2 el escalar sale al cuadrado: det(kX) = k²·det(X).

c) Evaluar y derivar. Para p, q ∈ ℝ₂[x] y k ∈ ℝ, usando que (p + q)′ = p′ + q′ y (kp)′ = k·p′:

h(p + q) = ((p + q)(1), (p + q)′(0)) = (p(1) + q(1), p′(0) + q′(0)) = h(p) + h(q)
h(k·p) = (k·p(1), k·p′(0)) = k·h(p)

Es lineal. Y con p = x² − 4x + 3: p(1) = 1 − 4 + 3 = 0, y p′ = 2x − 4, así que p′(0) = −4:

h(x² − 4x + 3) = (0, −4)

Dónde se pierde el punto. En b, contestar «es lineal porque d(O) = 0»: es condición necesaria, no suficiente. En c, confundir h(p) con p evaluado en un vector: el dominio son polinomios, y h los manda a ℝ². Un control rápido: p = x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) tiene raíz 1, así que la primera coordenada tenía que dar 0.

Dónde se cae la mayoría

Probar la linealidad con números concretos. Que f(1,2) + f(3,0) coincida con f(4,2) no prueba nada: la prueba se hace con vectores genéricos.
Concluir que f es lineal porque f(0) = 0. Es condición necesaria, no suficiente: (x·y, x) manda el 0 al 0 y no es lineal.
Creer que y = 2x + 1 es una transformación lineal porque en la secundaria se llamaba «función lineal». Manda el 0 al 1: es afín, no lineal.
Distribuir el escalar mal en una combinación: en f(2u + w) el 2 multiplica sólo a f(u).
Pensar que el determinante o elevar al cuadrado son lineales. det(2I) = 4 y no 2: los escalares no salen afuera.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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