Álgebra (27) · Unidad 5 — Transformaciones lineales

Una transformación lineal queda definida por una base

Si sabés adónde van los vectores de una base, sabés adónde va todo: cada vector es una combinación de la base, y f respeta combinaciones. Y al revés: podés mandar los vectores de una base adonde quieras, que siempre hay una única t.l. que lo hace.

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La explicación

El teorema

Si {v₁, …, v_n} es una base de V y w₁, …, w_n son vectores cualesquiera de W (pueden repetirse, pueden ser nulos),
existe una única transformación lineal f : V → W con f(v₁) = w₁, …, f(v_n) = w_n.

Por qué es única. Todo v ∈ V se escribe de una sola manera como v = a₁v₁ + … + a_nv_n (sus coordenadas en la base). Si f es lineal, no le queda otra que

f(v) = a₁w₁ + a₂w₂ + … + a_nw_n

Por qué existe. Porque definir f así da una función lineal: las coordenadas de u + v son la suma de las coordenadas, y las de k·v son k veces las de v.

Lo que se ve en el plano

Una base {b₁, b₂} de ℝ² arma una cuadrícula oblicua. Cada punto es «tantos pasos de b₁ y tantos de b₂». Una t.l. manda esa cuadrícula a otra cuadrícula (quizás aplastada), paso por paso: si v = 1·b₁ + 2·b₂, entonces f(v) = 1·f(b₁) + 2·f(b₂). Por eso alcanza con dos flechas para conocer una t.l. del plano, y por eso los datos tienen que ser una base: con dos vectores paralelos te falta una dirección de la cuadrícula.

Cómo se encuentra la fórmula

1. Verificá que los datos están en una base. Si no lo están, el teorema no se aplica (ver abajo).
2. Coordenadas de un vector genérico. Escribí (x, y, …) = a₁v₁ + … + a_nv_n y despejá los a_i en función de x, y, …
3. Aplicá f. f(x, y, …) = a₁·f(v₁) + … + a_n·f(v_n), y juntá coordenada por coordenada.
4. Verificá que la fórmula devuelve los datos del enunciado. Es un minuto y caza casi todos los errores.
Atajo con matrices, en ℝⁿ: si P tiene por columnas a los v_i y Q a los w_i, entonces M(f)·P = Q, así que M(f) = Q·P⁻¹.

Cuando los datos no son una base

Si hay vectores dependientes, la linealidad impone una condición. Por ejemplo, si (1, 1, 2) = (1, 0, 1) + (0, 1, 1), cualquier t.l. cumple f(1, 1, 2) = f(1, 0, 1) + f(0, 1, 1). Si el dato no respeta esa relación, no existe ninguna. Si la respeta, ese dato sobra.

Si los datos independientes no alcanzan a formar base, falta decidir qué hace f en alguna dirección: hay infinitas. Para dar una, se completa a una base y se elige la imagen de los vectores agregados.

Construir una f con condiciones

Es el ejercicio típico de parcial: «definir una t.l. tal que Nu(f) = … e Im(f) = …». La receta es elegir una base del dominio que se adapte a lo pedido:

1. Tomá una base del subespacio que tiene que ir al núcleo y mandala al O.
2. Completala a una base de V con vectores nuevos.
3. Mandá los nuevos a vectores independientes que generen la imagen pedida.
4. Controlá con el teorema de la dimensión: si dim Nu + dim Im no da dim V, lo pedido es imposible. Y si los vectores nuevos fueran a parar a algo dependiente, el núcleo crecería más de lo pedido.

No hace falta dar la fórmula: «f es la única t.l. que cumple f(v₁) = …, f(v₂) = …» es una definición completa, porque el teorema garantiza que existe y es única. En ℝ²ˣ² o en ℝ₂[x] vale igual: la base canónica {E₁₁, E₁₂, E₂₁, E₂₂} o {1, x, x²} define una t.l. en cuanto decís adónde va cada elemento.

Una t.l. no tiene más información que las imágenes de una base. Todo lo demás es combinación.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar la fórmula de la única transformación lineal f : ℝ² → ℝ³ tal que f(1, 2) = (1, 0, 3) y f(1, 1) = (2, −1, 1). Calcular f(4, −1).

1. Base. (1, 2) y (1, 1) no son paralelos, así que B = {(1, 2), (1, 1)} es base de ℝ². El teorema dice que f existe y es única.

2. Coordenadas de (x, y) en B.

(x, y) = α(1, 2) + β(1, 1) ⟺ α + β = x, 2α + β = y

Restando, α = y − x, y entonces β = x − α = 2x − y. Control: (y − x)(1, 2) + (2x − y)(1, 1) = (y − x + 2x − y, 2y − 2x + 2x − y) = (x, y) ✓.

3. Aplicar f. Por linealidad,

f(x, y) = (y − x)·(1, 0, 3) + (2x − y)·(2, −1, 1)
= (y − x + 4x − 2y, −2x + y, 3y − 3x + 2x − y)
= (3x − y, −2x + y, −x + 2y)

4. Verificación con los datos:

f(1, 2) = (3 − 2, −2 + 2, −1 + 4) = (1, 0, 3) ✓ f(1, 1) = (3 − 1, −2 + 1, −1 + 2) = (2, −1, 1) ✓

El mismo resultado por matrices. Con P = [[1, 1], [2, 1]] (los datos del dominio como columnas) y Q = [[1, 2], [0, −1], [3, 1]] (sus imágenes), P⁻¹ = [[−1, 1], [2, −1]] y
M(f) = Q·P⁻¹ = [[3, −1], [−2, 1], [−1, 2]]
que es justo la fórmula de arriba leída por filas.

f(4, −1) = (12 + 1, −8 − 1, −4 − 2) = (13, −9, −6). Otra manera, sin fórmula: (4, −1) tiene coordenadas α = −5, β = 9, y −5·(1, 0, 3) + 9·(2, −1, 1) = (13, −9, −6) ✓. Los dos caminos tienen que coincidir siempre.

Y uno del nivel del parcial

Definir una transformación lineal f : ℝ³ → ℝ³ tal que Nu(f) = { (x, y, z) : x − 2y + z = 0 } y f(1, 0, 0) = (2, 1, −1). ¿Es única? Hallar su fórmula y la dimensión de su imagen.

Una base del núcleo pedido. x = 2y − z, así que (x, y, z) = y(2, 1, 0) + z(−1, 0, 1). Una base es {(2, 1, 0), (1, 0, −1)} (cambié el signo del segundo, que da lo mismo).

Completar a una base de ℝ³. (1, 0, 0) no cumple la ecuación (1 − 0 + 0 ≠ 0), así que no está en el plano, y B = {(2, 1, 0), (1, 0, −1), (1, 0, 0)} es base. Definimos f como la única t.l. con

f(2, 1, 0) = (0, 0, 0), f(1, 0, −1) = (0, 0, 0), f(1, 0, 0) = (2, 1, −1)

¿Cumple? Im(f) = ⟨(0, 0, 0), (0, 0, 0), (2, 1, −1)⟩ = ⟨(2, 1, −1)⟩, así que dim Im(f) = 1 y dim Nu(f) = 3 − 1 = 2. El núcleo contiene al plano pedido, que también tiene dimensión 2: son iguales ✓.

¿Es única? Sí. Las condiciones obligan a f a valer 0 en todo el plano y (2, 1, −1) en (1, 0, 0), y eso ya fija a f en una base. Cualquier otra elección de base del plano da la misma f.

La fórmula, sin resolver sistemas. f tiene que ser cero justo en el plano x − 2y + z = 0, así que tiene la forma f(x, y, z) = (x − 2y + z)·w para un vector fijo w. Como f(1, 0, 0) = 1·w, resulta w = (2, 1, −1):
f(x, y, z) = (2x − 4y + 2z, x − 2y + z, −x + 2y − z)
Control: f(2, 1, 0) = (4 − 4, 2 − 2, −2 + 2) = (0, 0, 0) ✓, f(1, 0, −1) = (2 − 2, 1 − 1, −1 + 1) = (0, 0, 0) ✓, f(1, 0, 0) = (2, 1, −1) ✓.

Dónde se pierde el punto. En elegir para completar la base un vector que ya está en el plano, como (1, 1, 1): el conjunto queda dependiente y la «definición» no define nada. Y en contestar que no es única «porque se puede completar de muchas maneras»: el vector que se agrega es distinto, pero la transformación que sale es la misma.

Dónde se cae la mayoría

Usar el teorema sin verificar que los vectores del dato forman una base. Con datos dependientes puede no existir ninguna t.l., o haber infinitas.
Tratar las imágenes dadas como si fueran las de la base canónica: si te dan f(1, 2) y f(1, 1), eso NO es M(f) por columnas.
Despejar mal las coordenadas del vector genérico. Se controla reconstruyendo: a₁v₁ + a₂v₂ tiene que dar (x, y).
No verificar la fórmula final contra los datos. Es la forma más barata de detectar una cuenta mal hecha.
En una construcción, mandar los vectores que completan la base a vectores dependientes: el núcleo termina más grande que lo pedido.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Segundo parcial — Una transformación definida en una base25 puntos · resuelto paso a paso

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