Álgebra (27) · Unidad 5 — Transformaciones lineales
Composición, inversa y proyectores
Componer es aplicar una t.l. y después otra: el resultado es lineal, el orden importa, y el núcleo sólo puede crecer. Un isomorfismo se puede deshacer, y su inversa también es lineal. Un proyector es la t.l. que, aplicada dos veces, hace lo mismo que una.
La explicación
Componer
Si f : V → W y g : W → U son lineales, la composición es
Sólo tiene sentido si el codominio de f es el dominio de g. Y es lineal: g(f(u + v)) = g(f(u) + f(v)) = g(f(u)) + g(f(v)), y lo mismo con los escalares.
El orden importa, y mucho. Con f : ℝ² → ℝ³ y g : ℝ³ → ℝ², g ∘ f va de ℝ² en ℝ² y f ∘ g de ℝ³ en ℝ³: ni siquiera viven en el mismo lugar. Y aun con f, g : ℝ² → ℝ², en general g ∘ f ≠ f ∘ g: girar 90° y después reflejar en el eje x no es lo mismo que reflejar y después girar. En matrices, esto es que AB ≠ BA.
Qué pasa con el núcleo y la imagen
Si f ya aplastó un vector, g no lo puede resucitar: g(O) = O. Y todo lo que sale de g ∘ f sale, en particular, de g. Las inclusiones pueden ser estrictas: g puede aplastar cosas que f dejó vivas. De acá sale una consecuencia que se usa mucho:
Además dim Im(g ∘ f) ≤ dim W, así que si la composición pasa por un espacio más chico, no puede ser isomorfismo: ℝ³ → ℝ² → ℝ³ pierde por lo menos una dimensión.
La inversa
Si f : V → W es isomorfismo, la función inversa f⁻¹ : W → V (la que cumple f⁻¹ ∘ f = idV y f ∘ f⁻¹ = idW) también es lineal, y también es isomorfismo. Si f y g son isomorfismos,
como al sacarse la ropa: lo último que te pusiste es lo primero que te sacás.
1. Por una base. Si {v₁, …, vn} es base de V, entonces {f(v₁), …, f(vn)} es base de W, y f⁻¹ es la única t.l. con f⁻¹(f(vi)) = vi. Por ejemplo, con la canónica: f⁻¹ manda cada columna de M(f) al ei correspondiente.
2. Despejando. Planteá f(x, y, …) = (a, b, …) y despejá x, y, … en función de a, b, … Eso ya es la fórmula de f⁻¹(a, b, …).
En ℝⁿ las dos cosas son lo mismo que invertir la matriz: M(f⁻¹) = M(f)⁻¹.
Proyectores
Una t.l. p : V → V es un proyector si p ∘ p = p. Proyectar dos veces es lo mismo que una.
La primera: si v = p(w), p(v) = p(p(w)) = p(w) = v. La segunda sale de ahí: un vector que esté en el núcleo y en la imagen cumple p(v) = O y p(v) = v a la vez, así que es O; y las dimensiones suman dim V por el teorema. Geométricamente, p lleva cada vector a la imagen moviéndolo paralelo al núcleo: deja quietos los de la imagen y aplasta los del núcleo.
Para construir uno con Nu(p) = N e Im(p) = S, se toma una base de S y una de N, se juntan (si N ∩ S = {O} forman una base de V) y se define p(s) = s para los de S y p(n) = O para los de N. Si N ∩ S ≠ {O}, no existe ningún proyector así.
g ∘ f: primero f. (g ∘ f)⁻¹: primero se deshace g. Un proyector es la identidad en su imagen y cero en su núcleo.
Sean f : ℝ² → ℝ³, f(x, y) = (x − y, 2x, x + y), y g : ℝ³ → ℝ², g(x, y, z) = (y − z, x + 2z). Hallar g ∘ f y f ∘ g. Decidir cuál puede ser isomorfismo y, para ésa, hallar la inversa y calcular (g ∘ f)⁻¹(4, 0).
g ∘ f : ℝ² → ℝ². Se reemplaza f(x, y) adentro de g: el papel de (x, y, z) en g lo juega (x − y, 2x, x + y).
f ∘ g : ℝ³ → ℝ³. Ahora es al revés: g(x, y, z) = (y − z, x + 2z) entra en f.
= ((y − z) − (x + 2z), 2(y − z), (y − z) + (x + 2z)) = (−x + y − 3z, 2y − 2z, x + y + z)
g ∘ f va de ℝ² a ℝ², y su matriz [[1, −1], [3, 1]] tiene determinante 1 + 3 = 4 ≠ 0: es iso.
La inversa, despejando. Planteamos (g ∘ f)(x, y) = (a, b): x − y = a y 3x + y = b. Sumando, 4x = a + b; y después y = x − a:
Por matrices da lo mismo: [[1, −1], [3, 1]]⁻¹ = ¼·[[1, 1], [−3, 1]].
(g ∘ f)⁻¹(4, 0) = (4/4, −12/4) = (1, −3). Control, yendo para adelante: (g ∘ f)(1, −3) = (1 + 3, 3 − 3) = (4, 0) ✓.
Fijate que ni f ni g tienen inversa (no van entre espacios de la misma dimensión), y aun así g ∘ f sí tiene. La fórmula (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹ sólo vale cuando f y g son isomorfismos.
Definir un proyector p : ℝ³ → ℝ³ con Nu(p) = ⟨(1, 1, 1)⟩ e Im(p) = { (x, y, z) : x + y − z = 0 }. Hallar su fórmula y verificar que p ∘ p = p. ¿Qué pasaría si se pidiera Nu(p) = ⟨(1, 0, 1)⟩ con la misma imagen?
Primero, ¿es posible? Hace falta Nu(p) ∩ Im(p) = {O}. (1, 1, 1) no cumple la ecuación de la imagen (1 + 1 − 1 = 1 ≠ 0), así que la recta sólo corta al plano en el origen. Sí.
Base adaptada. Del plano, z = x + y: (1, 0, 1) y (0, 1, 1). Con (1, 1, 1) forman una base de ℝ³. Definimos p como la única t.l. con
Es proyector: p ∘ p y p coinciden en los tres vectores de la base (los dos primeros quedan quietos y el tercero va al O, y p(O) = O), y dos t.l. que coinciden en una base son iguales.
p(x, y, z) = (x, y, z) − (x + y − z)(1, 1, 1) = (−y + z, −x + z, −x − y + 2z)
Control: p(1, 0, 1) = (1, 0, 1) ✓, p(0, 1, 1) = (0, 1, 1) ✓, p(1, 1, 1) = (0, 0, 0) ✓. Y con la matriz P = [[0, −1, 1], [−1, 0, 1], [−1, −1, 2]], la cuenta P·P da P otra vez.
Por ejemplo, p(2, 0, 0) = (0, −2, −2): el (2, 0, 0) baja al plano moviéndose en la dirección de (1, 1, 1), y efectivamente (2, 0, 0) − (0, −2, −2) = (2, 2, 2).
Con Nu(p) = ⟨(1, 0, 1)⟩ no se puede: 1 + 0 − 1 = 0, así que (1, 0, 1) está en el plano. El núcleo cortaría a la imagen, y todo proyector cumple Nu(p) ⊕ Im(p) = V. No existe ninguno.
Dónde se cae la mayoría
- Leer g ∘ f de izquierda a derecha y aplicar g primero. Se aplica primero la de la derecha: g(f(v)).
- Suponer que g ∘ f = f ∘ g. En general no, y muchas veces ni siquiera están definidas las dos.
- Escribir (g ∘ f)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹. El orden se da vuelta: primero se deshace lo último que se hizo.
- Creer que Nu(g ∘ f) = Nu(f). Sólo vale la inclusión: g puede aplastar vectores que f dejó vivos.
- Pedir un proyector con un núcleo que corta a la imagen. Como V = Nu(p) ⊕ Im(p), si se cortan no existe.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Composición, inversa y proyectores →Los otros temas de la unidad 5
Transformaciones lineales