Álgebra (27) · Unidad 5 — Transformaciones lineales

Teorema de la dimensión y clasificación

Las dimensiones del dominio se reparten entre lo que f aplasta y lo que sobrevive: dim Nu(f) + dim Im(f) = dim V. De esa cuenta sale, casi sin trabajo, si f puede ser inyectiva, suryectiva o las dos cosas.

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La explicación

El teorema

Si f : V → W es lineal y V tiene dimensión finita: dim Nu(f) + dim Im(f) = dim V

Fijate que a la derecha va la dimensión del dominio, no la del codominio. La idea: V tiene n direcciones independientes. Algunas f las aplasta al cero (ésas forman el núcleo) y las demás sobreviven sin mezclarse (ésas generan la imagen). Ninguna se pierde en la cuenta.

Por qué es cierto, en tres renglones. Tomá una base {u₁, …, u_k} de Nu(f) y extendela a una base de V, {u₁, …, u_k, w₁, …, w_r}, con k + r = n. Las imágenes de los u_i son O, así que Im(f) = ⟨f(w₁), …, f(w_r)⟩. Y esos r vectores son independientes: si una combinación a₁f(w₁) + … + a_rf(w_r) diera O, la combinación de los w_i estaría en el núcleo, y como con los u_i forman una base, todos los a_i son 0. Así que dim Im(f) = r = n − k.

En la práctica, sirve para hacer la mitad de la cuenta: si calculaste el núcleo, la dimensión de la imagen sale restando, y viceversa. Y para ℝⁿ → ℝᵐ con matriz A: dim Im(f) = rg(A) y dim Nu(f) = n − rg(A).

Mono, epi, iso

monomorfismo = inyectiva: f(u) = f(v) ⇒ u = v ⟺ Nu(f) = {O}
epimorfismo = suryectiva: Im(f) = W ⟺ dim Im(f) = dim W
isomorfismo = las dos cosas

La primera equivalencia es la que ahorra trabajo: para ver si f es inyectiva no hace falta comparar pares de vectores, alcanza con mirar el núcleo. Si f(u) = f(v), entonces f(u − v) = O, y si el núcleo es sólo el O, u = v.

Lo que el teorema prohíbe

Si dim V > dim W, f no puede ser mono. La imagen tiene dimensión ≤ dim W, así que el núcleo se queda con por lo menos dim V − dim W. No hay forma de meter ℝ⁴ en ℝ³ sin aplastar nada.
Si dim V < dim W, f no puede ser epi. dim Im(f) ≤ dim V < dim W. Tres direcciones no llenan ℝ⁴.
Si dim V = dim W, las tres cosas son lo mismo. Nu(f) = {O} ⟺ dim Im(f) = dim V = dim W. En ese caso, con la matriz M de f en cualquier par de bases: f es iso ⟺ rg(M) = n ⟺ det(M) ≠ 0.

Por eso los ejercicios «¿para qué valores de k la t.l. es isomorfismo?» se resuelven con un determinante: se buscan las raíces de det(M) = 0 y se excluyen.

Qué preservan

Un monomorfismo manda conjuntos linealmente independientes a conjuntos linealmente independientes. Un isomorfismo manda bases en bases, y eso es de hecho una caracterización: f es iso si y sólo si la imagen de una base de V es una base de W. Por eso dos espacios de la misma dimensión son isomorfos: ℝ²ˣ² y ℝ⁴ se corresponden mandando [[a, b], [c, d]] a (a, b, c, d), y ℝ₂[x] y ℝ³, mandando a + bx + cx² a (a, b, c). Es la razón por la que en la unidad 4 se podía trabajar con coordenadas como si todo fuera ℝⁿ.

Antes de hacer una cuenta, contá dimensiones: muchas veces el teorema ya contestó.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Para cada k ∈ ℝ, sea f : ℝ³ → ℝ³, f(x, y, z) = (x + ky, y + kz, kx + z). Hallar los k para los cuales f es isomorfismo. Para los que no, dar bases del núcleo y de la imagen.

Contar dimensiones primero. Dominio y codominio tienen dimensión 3, así que mono, epi e iso son lo mismo, y todo se decide con el determinante de la matriz de f:

M = [[1, k, 0], [0, 1, k], [k, 0, 1]]

Desarrollando por la primera fila:

det M = 1·(1·1 − k·0) − k·(0·1 − k·k) + 0 = 1 + k³

1 + k³ = 0 ⟺ k³ = −1 ⟺ k = −1 (es la única raíz real). Entonces:

f es isomorfismo ⟺ k ≠ −1

El caso k = −1. f(x, y, z) = (x − y, y − z, −x + z). El núcleo:

x − y = 0, y − z = 0 ⇒ x = y = z ⇒ Nu(f) = ⟨(1, 1, 1)⟩, dim 1

(La tercera ecuación, −x + z = 0, es menos la suma de las otras dos: no agrega nada.) Por el teorema, dim Im(f) = 3 − 1 = 2, y dos columnas no paralelas alcanzan como base:

Im(f) = ⟨(1, 0, −1), (−1, 1, 0)⟩

Una ecuación para la imagen, gratis. Las tres columnas, (1, 0, −1), (−1, 1, 0) y (0, −1, 1), suman sus coordenadas 0. Así que Im(f) ⊆ { a + b + c = 0 }, y como los dos tienen dimensión 2, son iguales: Im(f) = { a + b + c = 0 }. Es el mismo razonamiento de siempre: contenido y misma dimensión es igual.
Control: f(1, 1, 1) = (0, 0, 0) ✓, y 1 + 2 = 3 ✓.

Fijate lo que dice el resultado: para k = −1, f es la que manda cada vector a sus «diferencias», y los vectores constantes (t, t, t) no tienen diferencias. Para cualquier otro k, ninguna dirección se aplasta y f tiene inversa.

Y uno del nivel del parcial

Decidir, en cada caso, si existe una transformación lineal con lo pedido. a) f : ℝ³ → ℝ²ˣ² epimorfismo. b) f : ℝ²ˣ² → ℝ₃[x] isomorfismo, donde ℝ₃[x] son los polinomios de grado ≤ 3 y el nulo. c) f : ℝ⁴ → ℝ² con Nu(f) = ⟨(1, 0, 0, 1)⟩.

Los tres se deciden contando, sin construir nada.

a) dim ℝ³ = 3 y dim ℝ²ˣ² = 4. Por el teorema, dim Im(f) = 3 − dim Nu(f) ≤ 3 < 4, así que la imagen nunca puede ser todo ℝ²ˣ². No existe.

b) dim ℝ²ˣ² = 4 = dim ℝ₃[x] (la base {1, x, x², x³} tiene cuatro elementos). Con las dimensiones iguales no hay obstrucción, y se puede dar uno explícito:

f([[a, b], [c, d]]) = a + b·x + c·x² + d·x³

Es lineal (sumar matrices suma los coeficientes) y su núcleo es sólo la matriz nula, así que es mono, y por dimensiones iguales, iso. Existe.

c) Si Nu(f) = ⟨(1, 0, 0, 1)⟩, entonces dim Nu(f) = 1 y dim Im(f) = 4 − 1 = 3. Pero la imagen vive en ℝ², que tiene dimensión 2. No existe. Para una f : ℝ⁴ → ℝ², el núcleo tiene dimensión por lo menos 2.

Dónde se pierde el punto. En c, contestar «sí: se completa (1, 0, 0, 1) a una base y se mandan los otros tres a cualquier cosa». Los otros tres tendrían que ir a vectores independientes de ℝ² para que el núcleo no crezca, y en ℝ² no entran tres independientes. En a, confundir ℝ²ˣ² con algo de dimensión 2.

Dónde se cae la mayoría

Poner dim W en lugar de dim V en el teorema. Lo que se reparte son las dimensiones del dominio.
Decir que f : ℝ⁴ → ℝ³ puede ser monomorfismo. La imagen tiene dimensión 3 como mucho, así que el núcleo tiene dimensión 1 por lo menos.
Decir que f es epimorfismo porque dim Im(f) = dim V. Epi es dim Im(f) = dim W, el codominio.
Buscar los k de «no es isomorfismo» y contestar ésos cuando se preguntaba cuándo SÍ lo es: son el complemento.
Olvidarse de que, con dim V = dim W, ser mono ya alcanza para ser iso: no hace falta probar las dos cosas.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Segundo parcial — Una transformación definida en una base25 puntos · resuelto paso a paso

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