Álgebra (27) · Unidad 5 — Transformaciones lineales
Núcleo e imagen
El núcleo es lo que f aplasta hasta el cero; la imagen es todo lo que f alcanza. Los dos son subespacios, y se calculan con las herramientas de la unidad 4: el núcleo es un sistema homogéneo, la imagen está generada por las imágenes de una base.
La explicación
Las dos definiciones
Sea f : V → W una transformación lineal.
Im(f) = { w ∈ W : w = f(v) para algún v ∈ V } = f(V) vive en el codominio
El núcleo es lo que f manda al cero. La imagen es el conjunto de todos los resultados posibles. Hay que tener claro dónde vive cada uno: si f : ℝ⁴ → ℝ³, el núcleo está formado por vectores de cuatro coordenadas y la imagen por vectores de tres.
La imagen geométrica
En el plano: si f aplasta ℝ² sobre una recta, hay una dirección entera que va a parar al origen. Ésa es la recta del núcleo. Y la recta sobre la que cae todo es la imagen. Dos vectores que difieren en algo del núcleo van a parar al mismo lugar, porque f(v + n) = f(v) + f(n) = f(v) + O. Así que el núcleo mide cuánta información pierde f: cuanto más grande, más vectores distintos se confunden.
Son subespacios
O ∈ Nu(f) porque f(O) = O. Si f(u) = O y f(v) = O, entonces f(u + v) = O + O = O y f(ku) = k·O = O. Con la imagen es parecido: f(u) + f(v) = f(u + v) y k·f(u) = f(ku) también son imágenes. Más en general, la imagen de un subespacio S es un subespacio, y si S = ⟨v₁, …, vr⟩,
Y la preimagen de un subespacio T de W, f⁻¹(T) = { v : f(v) ∈ T }, también es un subespacio. Ojo: f⁻¹ acá es notación de conjunto, no la función inversa, que muchas veces ni existe.
Cómo se calculan
Imagen. Aplicá f a una base del dominio (la canónica es la cómoda): esos vectores generan Im(f). Si son l.d., extraé una base triangulando. En ℝⁿ → ℝᵐ esos vectores son las columnas de la matriz.
Ecuaciones de la imagen. w ∈ Im(f) ⟺ el sistema f(v) = w es compatible. Triangulando la matriz ampliada con w genérico, las filas que quedan en cero piden condiciones sobre w: ésas son las ecuaciones.
La preimagen de un vector
f⁻¹(w) = { v : f(v) = w } es el conjunto de soluciones de un sistema no homogéneo. Puede ser vacío (si w ∉ Im(f)), y si no lo es tiene la forma de siempre:
Es la unidad 2 dicha de nuevo: solución particular más soluciones del homogéneo. Si w ≠ O, f⁻¹(w) no es un subespacio, porque no contiene al O: es un subespacio corrido.
Fuera de ℝⁿ
La traza, tr : ℝ²ˣ² → ℝ, tiene núcleo { X : x₁₁ + x₂₂ = 0 } = ⟨[[1, 0], [0, −1]], [[0, 1], [0, 0]], [[0, 0], [1, 0]]⟩, de dimensión 3, e imagen todo ℝ (tr(t·E₁₁) = t alcanza cualquier número). Y la derivada en ℝ₂[x] tiene por núcleo a las constantes: las únicas cuya derivada es 0.
Núcleo: se resuelve f(v) = O. Imagen: se aplica f a una base y se extrae una base de lo que sale.
Sea f : ℝ³ → ℝ³, f(x, y, z) = (x − y + 2z, 2x + y + z, x + 2y − z). Hallar una base y la dimensión de Nu(f) y de Im(f), una ecuación de Im(f), y los conjuntos f⁻¹(0, 3, 3) y f⁻¹(1, 1, 1).
El núcleo. Igualamos cada coordenada a 0 y triangulamos:
Queda y = z y x = y − 2z = −z. Con z libre:
Control: f(−1, 1, 1) = (−1 − 1 + 2, −2 + 1 + 1, −1 + 2 − 1) = (0, 0, 0) ✓.
La imagen. Aplicamos f a la base canónica: son las columnas de la matriz.
La triangulación de arriba ya dice que hay dos columnas principales, las dos primeras. De hecho (2, 1, −1) = (1, 2, 1) − (−1, 1, 2). Así que
La ecuación. Es un plano por el origen; su normal es perpendicular a los dos generadores: (1, 2, 1) × (−1, 1, 2) = (3, −3, 3), o sea (1, −1, 1). Entonces
Control con los tres generadores: 1 − 2 + 1 = 0, −1 − 1 + 2 = 0, 2 − 1 − 1 = 0 ✓.
f⁻¹(0, 3, 3) = (1, 1, 0) + ⟨(−1, 1, 1)⟩ = { (1 − t, 1 + t, t) : t ∈ ℝ }
Una recta que no pasa por el origen, paralela al núcleo.
f⁻¹(1, 1, 1). 1 − 1 + 1 = 1 ≠ 0, así que (1, 1, 1) ∉ Im(f) y f⁻¹(1, 1, 1) = ∅. El sistema es incompatible: ningún vector llega ahí.
Fijate el orden de trabajo: la ecuación de la imagen responde en un renglón si un vector tiene preimagen, antes de ponerse a resolver ningún sistema.
Sea f : ℝ²ˣ² → ℝ²ˣ², f(X) = X − Xᵗ. Hallar Nu(f) e Im(f), con bases y dimensiones. Decidir si M = [[0, 5], [−5, 0]] está en la imagen y, si está, describir f⁻¹(M).
La cuenta con X genérica. Si X = [[a, b], [c, d]], entonces Xᵗ = [[a, c], [b, d]] y
Núcleo. f(X) = O ⟺ b = c. Son las matrices simétricas:
Imagen. Toda f(X) es de la forma (b − c)·[[0, 1], [−1, 0]], y con b = t, c = 0 se alcanza cualquier múltiplo. Son las antisimétricas:
Control: 3 + 1 = 4 = dim ℝ²ˣ², que es lo que va a pedir el teorema de la dimensión (tema 5.3).
¿M ∈ Im(f)? M = 5·[[0, 1], [−1, 0]]: sí. Una preimagen se lee de la fórmula: hace falta b − c = 5, por ejemplo X₀ = [[0, 5], [0, 0]]. Verificación: X₀ − X₀ᵗ = [[0, 5], [0, 0]] − [[0, 0], [5, 0]] = [[0, 5], [−5, 0]] ✓. Entonces
Dónde se cae la mayoría
- Buscar el núcleo en el codominio. Si f : ℝ⁴ → ℝ³, los vectores del núcleo tienen cuatro coordenadas.
- Dar como base de la imagen todas las columnas de la matriz sin revisar si son independientes.
- Decir que f⁻¹(w) es un subespacio. Si w ≠ O, no contiene al nulo: es un subespacio corrido, v₀ + Nu(f).
- Confundir f⁻¹(w), que es un conjunto de preimágenes, con la inversa de f, que muchas veces ni existe.
- Dar la ecuación de la imagen mirando sólo dos columnas: hay que verificar que todas los generadores la cumplen.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Núcleo e imagen →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Una transformación definida en una base25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 5
Transformaciones lineales