Álgebra (27) · Unidad 4 — Espacios vectoriales

Independencia lineal

Un conjunto es linealmente independiente cuando ninguno de sus vectores sobra: ninguno es combinación de los otros. Se decide con un sistema homogéneo: si la única solución es la trivial, son independientes.

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La explicación

La pregunta de fondo

Un subespacio se puede generar con muchos conjuntos distintos, y algunos traen vectores de más. Por ejemplo ⟨(1, 3, −1), (−2, −6, 2)⟩ es la misma recta que ⟨(1, 3, −1)⟩, porque el segundo es −2 veces el primero: sacarlo no cambia nada. La independencia lineal es la forma precisa de decir «acá no sobra ninguno».

La definición

{v₁, …, v_n} es linealmente independiente (LI) si
a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_nv_n = 0 ⟹ a₁ = a₂ = … = a_n = 0
Si no, es linealmente dependiente (LD): hay una combinación que da 0 con algún a_i ≠ 0.

La combinación con todos los coeficientes en cero da 0 siempre, para cualquier lista: se llama la trivial. La pregunta es si es la única. En el ejemplo de arriba, 2·(1, 3, −1) + 1·(−2, −6, 2) = (0, 0, 0) con coeficientes no nulos: dependientes.

Qué quiere decir, en castellano

LD ⟺ alguno de los vectores es combinación lineal de los otros

Si a₁v₁ + … + a_nv_n = 0 con, digamos, a₁ ≠ 0, se despeja v₁ = −(a₂/a₁)v₂ − … y v₁ es combinación de los demás. Al revés, si v₁ = c₂v₂ + …, pasando todo de un lado queda una combinación que da 0 con el coeficiente 1 adelante de v₁.

La imagen en ℝ³. Dos vectores son LD si y sólo si son paralelos (uno es múltiplo del otro). Tres vectores son LD si y sólo si están en un mismo plano por el origen: el tercero cae en el plano que generan los otros dos. Y cuatro vectores en ℝ³ son siempre LD: no hay lugar para cuatro direcciones independientes. En general, en ℝⁿ un conjunto LI tiene a lo sumo n vectores.

Dos casos que se ven sin cuentas: un conjunto que contiene al 0 es LD (1·0 = 0 es una combinación no trivial), y un solo vector v ≠ 0 es LI.

Cómo se decide

Procedimiento.
1. Planteá a₁v₁ + … + a_nv_n = 0 e igualá coordenada a coordenada. Queda un sistema homogéneo con los vectores como columnas.
2. Escalonalo. No hace falta resolverlo: sólo saber si es compatible determinado (única solución, la trivial → LI) o indeterminado (infinitas → LD).
3. Equivalente: el conjunto es LI si y sólo si el rango de esa matriz es igual a la cantidad de vectores.
4. Si son n vectores de ℝⁿ, la matriz es cuadrada y alcanza con el determinante: det ≠ 0 ⟺ LI.
5. Si salió LD y te piden la relación, resolvé el sistema dándole un valor a una variable libre: los coeficientes que salen son la combinación que da 0.

Con dos vectores alcanza con mirar si son múltiplos. Con tres o más no: pueden ser LD sin que ninguno sea múltiplo de otro, porque la relación usa a los tres.

Con un parámetro

Si uno de los vectores depende de k, se escalona o se calcula el determinante en función de k y se ve para qué valores aparece una fila nula (o el determinante se anula). Esos k son los que hacen al conjunto LD; para todos los demás es LI.

Vectores escritos en función de otros

Si {v₁, v₂, v₃} es LI y te dan w₁ = v₁ + 2v₂, w₂ = …, no hace falta saber quiénes son los v. Se plantea a·w₁ + b·w₂ + c·w₃ = 0, se reagrupa como (…)v₁ + (…)v₂ + (…)v₃ = 0, y como los v son LI cada paréntesis tiene que ser 0. Queda un sistema homogéneo en a, b, c cuya matriz tiene por columnas los coeficientes de cada w: se decide igual que en ℝ³.

En matrices y polinomios

La definición no cambia. Con los polinomios {x² + 1, x − 1, x² + x}:

a(x² + 1) + b(x − 1) + c(x² + x) = (a + c)x² + (b + c)x + (a − b) = 0

Un polinomio es cero cuando todos sus coeficientes lo son: a + c = 0, b + c = 0, a − b = 0. Tomando c = 1 sale a = b = −1, y en efecto −(x² + 1) − (x − 1) + (x² + x) = 0: son LD, aunque ninguno sea múltiplo de otro.

Independientes = la combinación trivial es la única que da cero. Se traduce en un sistema homogéneo con los vectores como columnas, y se decide por el rango o, si la matriz es cuadrada, por el determinante.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Decidí si {(1, 3, 2), (2, −1, 5), (0, 7, −1)} es linealmente independiente. Si no lo es, encontrá una combinación no trivial que dé el vector nulo y escribí uno de los vectores en función de los otros.

Planteo a(1, 3, 2) + b(2, −1, 5) + c(0, 7, −1) = (0, 0, 0). Igualando coordenadas, el sistema tiene a los tres vectores como columnas:

⎡ 1 2 0 ⎤ F₂ − 3F₁ ⎡ 1 2 0 ⎤ 7F₃ + F₂ ⎡ 1 2 0 ⎤
⎢ 3 −1 7 ⎥ F₃ − 2F₁ ⎢ 0 −7 7 ⎥ → ⎢ 0 −7 7 ⎥
⎣ 2 5 −1 ⎦ → ⎣ 0 1 −1 ⎦ ⎣ 0 0 0 ⎦

Quedó una fila nula: el rango es 2 y hay 3 incógnitas, así que el sistema es compatible indeterminado. Hay soluciones no triviales: el conjunto es linealmente dependiente.

Control por otro camino: el determinante de la matriz es 1·(1 − 35) − 2·(−3 − 14) + 0 = −34 + 34 = 0 ✔.

La relación. De la segunda fila, −7b + 7c = 0, o sea b = c. De la primera, a = −2b. Tomando c = 1: b = 1, a = −2.

−2(1, 3, 2) + (2, −1, 5) + (0, 7, −1) = (−2 + 2 + 0, −6 − 1 + 7, −4 + 5 − 1) = (0, 0, 0) ✔

Despejando el tercero: (0, 7, −1) = 2(1, 3, 2) − (2, −1, 5). Como los tres coeficientes salieron no nulos, se podría despejar cualquiera de los tres.

Lo que muestra el ejemplo. Ninguno de los tres es múltiplo de otro (compará las primeras coordenadas con las segundas), y sin embargo son dependientes: la relación los usa a los tres. Geométricamente, los tres están en el plano 17x₁ − x₂ − 7x₃ = 0, que es lo que dibuja la animación.

Y la consecuencia práctica: ⟨(1, 3, 2), (2, −1, 5), (0, 7, −1)⟩ = ⟨(1, 3, 2), (2, −1, 5)⟩. Se puede sacar el tercero sin perder nada del subespacio generado.

Y uno del nivel del parcial

Sea {v₁, v₂, v₃} un conjunto linealmente independiente de un espacio vectorial V. ¿Para qué valores de k es linealmente independiente {v₁ + v₂, v₂ − v₃, v₁ + k·v₃}? Para el valor en que no lo es, dá la relación.

No sé quiénes son los v, pero no hace falta. Planteo la combinación igualada a cero y reagrupo por cada v_i:

a(v₁ + v₂) + b(v₂ − v₃) + c(v₁ + kv₃) = 0
(a + c)·v₁ + (a + b)·v₂ + (−b + kc)·v₃ = 0

Como {v₁, v₂, v₃} es LI, cada coeficiente tiene que ser cero:

a + c = 0, a + b = 0, −b + kc = 0 → matriz [[1, 0, 1], [1, 1, 0], [0, −1, k]]

Es cuadrada, así que decido por el determinante (desarrollo por la primera fila):

det = 1·(1·k − 0·(−1)) − 0 + 1·(1·(−1) − 1·0) = k − 1

Respuesta: el conjunto es LI si y sólo si k ≠ 1.

La relación con k = 1. De a + c = 0 y a + b = 0: c = −a y b = −a. La tercera, −b + c = a − a = 0, se cumple sola. Con a = 1:

(v₁ + v₂) − (v₂ − v₃) − (v₁ + v₃) = v₁ + v₂ − v₂ + v₃ − v₁ − v₃ = 0 ✔

Dónde se pierde el punto. En no reagrupar: la ecuación con los w no dice nada hasta que se juntan los coeficientes de cada v. Y en poner los coeficientes de cada w como filas en vez de columnas: para el determinante da igual (el de la transpuesta es el mismo), pero para escalonar y leer la relación no.

Dónde se cae la mayoría

Decir que tres vectores son independientes porque ninguno es múltiplo de otro. Eso sólo decide con dos; con tres, la relación puede usarlos a los tres.
Escribir la combinación trivial (todos los coeficientes en cero) y concluir que son independientes. Esa combinación existe siempre; la pregunta es si hay otra.
Resolver el sistema entero cuando alcanza con el rango: para decidir LI o LD sólo importa si la solución es única.
Olvidar que un conjunto que contiene al vector nulo es siempre dependiente.
Con vectores dados en función de v₁, v₂, v₃, igualar a cero sin reagrupar por cada v. Primero se juntan los coeficientes de v₁, después los de v₂ y los de v₃.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Segundo parcial — Intersección y suma en ℝ⁴25 puntos · resuelto paso a paso

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