Álgebra (27) · Unidad 4 — Espacios vectoriales
Extracción y extensión de bases
De un conjunto que genera se extrae una base quedándose con los vectores de las columnas con pivote. A un conjunto independiente se lo extiende a una base agregándole una base conocida y volviendo a extraer, sin sacar ninguno de los que ya estaban.
La explicación
Dos problemas, uno de cada lado
Una base está justo en el medio entre «genera» y «es independiente». Por eso hay dos formas de llegar a una:
extender: tengo un conjunto independiente dentro de S y le agrego los que faltan
Extraer: la regla de las columnas con pivote
Sea C = {c₁, …, cm} un conjunto de generadores de S. Se arma la matriz con los ci como columnas (la misma del sistema de independencia) y se escalona.
⟶ los vectores de C que están en esas columnas forman una base de S
dim(S) = rango de la matriz = cantidad de pivotes
Por qué funciona. Si te quedás sólo con las columnas con pivote, el sistema homogéneo es compatible determinado: esos vectores son independientes. Y cada columna sin pivote corresponde a una variable libre: dándole el valor 1 (y 0 a las otras libres) se obtiene una combinación que da cero con ese vector adentro, o sea, una fórmula que lo escribe con los de las columnas con pivote. Sacarlo no achica el subespacio.
1. Matriz con los vectores de C como columnas, en el orden en que vienen.
2. Escalonar. Marcar en qué columnas quedaron los pivotes.
3. La base son los vectores originales de esas columnas, no las columnas de la matriz escalonada (las operaciones de fila cambian los vectores).
4. Si te piden la relación de uno que sacaste, resolvé el sistema con su variable en 1.
No es la única base que se puede extraer. Cualquier otro grupo de columnas cuya submatriz tenga el mismo rango también sirve. La regla de los pivotes da una; para verificar otra, se escalonan esas columnas solas.
Extender: agregar y volver a extraer
Para extender hay que partir de un conjunto independiente y contenido en el subespacio al que se quiere llegar. Si S ⊆ H, cualquier base de S se puede extender a una base de H; si S no está contenido en H, es imposible, porque los vectores de una base de H tienen que estar en H.
1. Calculá dim(H): sabés cuántos vectores faltan, dim(H) − r.
2. Buscá una base cualquiera de H (si H = ℝⁿ, la canónica).
3. Armá la matriz con primero v₁, …, vr y después esa base, todos como columnas, y extraé con la regla de los pivotes.
4. Como los vi son independientes y van primero, sus columnas tienen pivote seguro: la base que sale los contiene.
Hay un atajo cuando falta sólo uno: agregar un vector de H que no esté en ⟨v₁, …, vr⟩. Si ⟨v₁, …, vr⟩ tiene ecuación conocida, basta uno que no la cumpla.
La imagen en ℝ³
Extraer: cuatro flechas que están todas en un mismo plano; se queda uno con dos que no estén alineadas y las otras dos se tiran, porque ya se arman con esas. Extender: una flecha sola genera una recta; se le agrega una que no esté en esa recta y ya generan un plano; se agrega una que no esté en el plano y se llega a ℝ³. Cada vector que se agrega tiene que salirse de lo que ya generaban los anteriores.
Para decidir si dos subespacios son iguales
Si S ⊆ T y dim(S) = dim(T), extender una base de S a una de T no requiere agregar nada: ya es base de T, y S = T. Es la forma rápida de probar una igualdad sin calcular ecuaciones de los dos.
Extraer: los vectores de las columnas con pivote. Extender: poner primero los que hay que conservar, después una base conocida, y extraer. En los dos casos se escalona una sola matriz.
Sea C = {c₁, c₂, c₃, c₄, c₅} con c₁ = (1, 2, 0, 1), c₂ = (2, 4, 0, 2), c₃ = (0, 1, 1, −1), c₄ = (1, 3, 1, 0) y c₅ = (1, 0, 1, 1). Extraé de C una base de S = ⟨C⟩, dá dim(S) y escribí los vectores que sacaste en función de los de la base.
Pongo los cinco como columnas, en orden, y escalono (son los pasos de la animación):
⎢ 2 4 1 3 0 ⎥ → ⎢ 0 0 1 1 −2 ⎥
⎢ 0 0 1 1 1 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 3 ⎥
⎣ 1 2 −1 0 1 ⎦ ⎣ 0 0 0 0 0 ⎦
(F₂ − 2F₁ y F₄ − F₁; después F₃ − F₂ y F₄ + F₂; al final 3F₄ + 2F₃.)
Los pivotes están en las columnas 1, 3 y 5. Entonces:
Los que saqué. La columna 2 no tiene pivote: pongo esa variable en 1 y las otras libres en 0. De la primera fila, a + 2·1 = 0, así que a = −2: −2c₁ + c₂ = 0, o sea c₂ = 2c₁ (se veía a ojo). Con la columna 4 en 1: de la segunda fila, c + 1 = 0, c = −1; de la primera, a + 1 = 0, a = −1. Queda −c₁ − c₃ + c₄ = 0, o sea c₄ = c₁ + c₃.
1. Los tres de la base son independientes: tomando sólo las columnas 1, 3 y 5 de la escalonada quedan tres pivotes y ninguna variable libre ✔.
2. Los dos que salieron se escriben con los de la base, así que B genera todo S ✔.
3. Otra base posible: {c₂, c₄, c₅}. Escalonando esas tres columnas solas también da rango 3. En cambio {c₁, c₂, c₃} no sirve: c₂ = 2c₁ y el rango es 2.
Fijate que la base son los vectores originales: la columna 3 de la escalonada es (0, 1, 0, 0), que ni siquiera está en S: no es combinación de c₁, c₃ y c₅. Lo que se lee de la escalonada es dónde están los pivotes, no los vectores.
Sean S = ⟨(1, 0, 2, −1), (0, 1, −1, 1)⟩ y H = {x ∈ ℝ⁴ / x₁ − x₃ − x₄ = 0}. a) Probá que S ⊆ H. b) Extendé la base de S a una base de H. c) Extendé esa base a una base de ℝ⁴.
a) Alcanza con los generadores: (1, 0, 2, −1) da 1 − 2 + 1 = 0 ✔ y (0, 1, −1, 1) da 0 + 1 − 1 = 0 ✔. Entonces S ⊆ H. Los dos generadores no son paralelos, así que B_S = {(1, 0, 2, −1), (0, 1, −1, 1)} es base de S y dim(S) = 2.
b) dim(H) = 4 − 1 = 3: falta un vector. Tiene que estar en H y no en S. Pruebo con h = (1, 0, 0, 1): 1 − 0 − 1 = 0, está en H. ¿Está en S? Si fuera a(1, 0, 2, −1) + b(0, 1, −1, 1), la primera coordenada daría a = 1 y la segunda b = 0, y entonces la tercera sería 2, no 0. No está. Así que
Es independiente porque el tercero no es combinación de los otros dos (recién lo vimos), y son 3 = dim(H) vectores de H.
c) Falta uno más, ahora fuera de H. Con la canónica: e₁ = (1, 0, 0, 0) da 1 − 0 − 0 = 1 ≠ 0, no está en H, y por lo tanto no es combinación de B_H. Agregarlo da cuatro vectores independientes de ℝ⁴:
Dónde se pierde el punto: en b), en agregar un vector que no está en H (por ejemplo e₁ ya en ese paso): el resultado sería una base de algo, pero no de H.
Dónde se cae la mayoría
- Dar como base las columnas de la matriz ESCALONADA. Las operaciones de fila cambiaron esos vectores; la base son los vectores originales de las columnas con pivote.
- Intentar extender un conjunto que no está contenido en el subespacio. Si un vector de S no está en H, no hay base de H que lo contenga.
- Al extender, poner la base conocida antes que los vectores que hay que conservar. Entonces los pivotes pueden caer en los agregados y perderse los originales.
- Agregar un vector sin verificar que se sale de lo que ya se generaba. Si es combinación de los anteriores, el conjunto deja de ser independiente.
- Creer que la base extraída es única. La de los pivotes es una; otros grupos de columnas con el mismo rango también sirven.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Extracción y extensión de bases →Los otros temas de la unidad 4
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