Álgebra (27) · Unidad 4 — Espacios vectoriales

Coordenadas en una base

Una base es un sistema de referencia: cada vector se escribe de una única manera como combinación de sus vectores, y esos coeficientes, en orden, son sus coordenadas en esa base. Cambiar de base es cambiar de cuadrícula, no de vector.

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La explicación

Por qué una base da coordenadas

Si B = {v₁, …, v_n} es base de V, todo v ∈ V se escribe como combinación de B (porque B genera) y de una sola manera (porque B es independiente). Lo segundo sale en dos renglones: si v = a₁v₁ + … + a_nv_n = b₁v₁ + … + b_nv_n, restando queda (a₁ − b₁)v₁ + … + (a_n − b_n)v_n = 0, y la independencia obliga a a_i = b_i para todo i.

(v)_B = (a₁, …, a_n) ⟺ v = a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_nv_n

Se escribe (v)_B o [v]_B, y se lee «las coordenadas de v en la base B». Con un conjunto que genera pero no es independiente, los coeficientes no serían únicos y la definición no tendría sentido: por eso se piden en una base.

La imagen: otra cuadrícula

Las coordenadas de siempre son las de la base canónica: (3, 2) = 3·(1, 0) + 2·(0, 1), «tres pasos para la derecha y dos para arriba» en el cuadriculado común. Con otra base, el cuadriculado es oblicuo: sus líneas son paralelas a v₁ y a v₂, y (v)_B = (α, β) quiere decir «α pasos en la dirección de v₁ y β en la de v₂». El vector es la misma flecha; lo que cambia es el papel sobre el que la medís.

El orden importa

Una base es un conjunto ordenado. Si B = {v₁, v₂} y B′ = {v₂, v₁}, las coordenadas de un mismo vector salen dadas vuelta: (v)_B = (4, −1) da (v)_B′ = (−1, 4).

Las dos direcciones

De las coordenadas al vector: se arma la combinación. Si (v)_B = (2, −1, 3), entonces v = 2v₁ − v₂ + 3v₃. No hay nada que resolver.

Del vector a las coordenadas: se resuelve el sistema a₁v₁ + … + a_nv_n = v, con los vectores de la base como columnas. Como B es base, la matriz es cuadrada e inversible: la solución existe y es única.

Control, siempre: armar la combinación con las coordenadas que salieron y ver que da v.

En la base canónica de ℝⁿ las coordenadas son las del vector mismo: (x₁, …, x_n)_E = (x₁, …, x_n). Por eso nunca hizo falta pensar en esto hasta ahora.

En espacios que no son ℝⁿ

Si dim(V) = n, las coordenadas en cualquier base son una n-upla de números, aunque los elementos de V sean matrices o polinomios. En ℝ^2×2 son cuatro números. Con los polinomios de grado ≤ 2 y la base B = {1, x − 1, (x − 1)²}:

x² = ((x − 1) + 1)² = 1 + 2(x − 1) + (x − 1)² → (x²)_B = (1, 2, 1)

Es el desarrollo de Taylor alrededor de 1, visto como coordenadas.

Bases escritas en función de otra

Muchas veces no se sabe quiénes son los vectores: B = {v₁, v₂, v₃} es una base cualquiera y B′ está dada en función de ella, por ejemplo B′ = {v₁ + v₃, v₂ − v₁, v₃}. Para pasar de (w)_B′ a (w)_B se arma la combinación con los vectores de B′ y se reagrupa por v₁, v₂, v₃. Para el camino inverso se plantea la combinación con incógnitas y se igualan los coeficientes de cada v_i, que se puede hacer porque B es independiente.

Para qué sirven

Un conjunto de vectores es independiente si y sólo si lo son sus vectores de coordenadas en una base. Así, cualquier pregunta sobre independencia, generadores o dimensión en un espacio de dimensión n se traslada a ℝⁿ, donde se escalona. Es lo que se hizo en los temas anteriores con las matrices y con los v₁, v₂, v₃ sin nombre: se trabajaba, sin decirlo, con coordenadas.

(v)_B son los coeficientes, en orden, de la única combinación de B que da v. De coordenadas a vector: combinar. De vector a coordenadas: resolver un sistema con la base como columnas.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

a) Hallá las coordenadas de v = (1, 7) en la base B = {(1, 1), (−1, 2)} de ℝ². b) En la base B′ = {(1, 0, 2), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} de ℝ³, hallá (w)_B′ para w = (3, 1, 4), y el vector u con (u)_B′ = (1, −1, 2).

a) Busco α y β con α(1, 1) + β(−1, 2) = (1, 7). Con la base como columnas:

α − β = 1
α + 2β = 7 → restando: 3β = 6, β = 2, α = 3

(v)_B = (3, 2). Control: 3(1, 1) + 2(−1, 2) = (3 − 2, 3 + 4) = (1, 7) ✔. Es lo que muestra la animación: tres pasos de b₁ y dos de b₂.

Antes de resolver conviene chequear que B es base: det [[1, −1], [1, 2]] = 2 + 1 = 3 ≠ 0 ✔.

b) Primero, que B′ es base: det [[1, 0, 1], [0, 1, 1], [2, 1, 0]] = 1·(0 − 1) − 0 + 1·(0 − 2) = −3 ≠ 0 ✔. Para w = (3, 1, 4): a(1, 0, 2) + b(0, 1, 1) + c(1, 1, 0) = (3, 1, 4).

a + c = 3 b + c = 1 2a + b = 4

De la primera, c = 3 − a; de la segunda, b = 1 − c = a − 2. En la tercera: 2a + a − 2 = 4, así que a = 2, y entonces b = 0 y c = 1.

(w)_B′ = (2, 0, 1) control: 2(1, 0, 2) + 0 + 1(1, 1, 0) = (3, 1, 4) ✔

Una coordenada puede ser cero: quiere decir que w está en el plano de los otros dos vectores de la base, y no necesita al segundo.

El camino inverso no requiere resolver nada: (u)_B′ = (1, −1, 2) quiere decir

u = 1·(1, 0, 2) − 1·(0, 1, 1) + 2·(1, 1, 0) = (1 + 2, −1 + 2, 2 − 1) = (3, 1, 1)

Dónde se pierde el punto. En contestar (u)_B′ cuando se pedía u, o al revés: son dos ternas y es fácil entregar la que no es. Ayuda escribir siempre con el subíndice: (3, 1, 1) es u, (1, −1, 2) es (u)_B′. Y en armar el sistema con la base como filas: acá daría otras ecuaciones y otras coordenadas, que el control de la combinación delata en seguida.

Y uno del nivel del parcial

Sean B = {v₁, v₂, v₃} una base de V y B′ = {v₁ + v₃, v₂ − v₁, v₃}. a) Si (w)_B′ = (2, −1, 3), hallá (w)_B. b) Si u = v₁ + v₂ + v₃, hallá (u)_B′.

a) Las coordenadas en B′ dicen cómo se arma w con los vectores de B′. Armo y reagrupo:

w = 2(v₁ + v₃) − (v₂ − v₁) + 3v₃ = 2v₁ + 2v₃ − v₂ + v₁ + 3v₃ = 3v₁ − v₂ + 5v₃

Entonces (w)_B = (3, −1, 5).

b) Busco a, b, c con a(v₁ + v₃) + b(v₂ − v₁) + c·v₃ = v₁ + v₂ + v₃. Reagrupo el lado izquierdo:

(a − b)v₁ + b·v₂ + (a + c)v₃ = 1·v₁ + 1·v₂ + 1·v₃

Como B es independiente, los coeficientes de cada v_i tienen que coincidir:

a − b = 1, b = 1, a + c = 1 → b = 1, a = 2, c = −1

(u)_B′ = (2, 1, −1).

Control. 2(v₁ + v₃) + (v₂ − v₁) − v₃ = 2v₁ + 2v₃ + v₂ − v₁ − v₃ = v₁ + v₂ + v₃ ✔.
Y de paso: B′ es base, porque la matriz de coeficientes [[1, −1, 0], [0, 1, 0], [1, 0, 1]] (cada columna, un vector de B′ en coordenadas de B) tiene determinante 1 ≠ 0.
Dónde se pierde el punto: en igualar «vector con vector» sin reagrupar, o en usar la independencia de B′ cuando la que se sabe de entrada es la de B.

Dónde se cae la mayoría

Poner los vectores de la base como filas del sistema. Van como columnas: cada incógnita multiplica a un vector entero.
Dar vuelta el orden: las coordenadas siguen el orden en que está escrita la base. Con la base al revés, las coordenadas salen al revés.
Confundir el vector con sus coordenadas. Si (v)_B = (2, 3), v no es (2, 3) salvo que B sea la canónica.
Calcular coordenadas en un conjunto que no es base. Si no es independiente, los coeficientes no son únicos; si no genera, a veces no existen.
Con bases en función de otra, igualar los vectores de B′ con los de B sin reagrupar por v₁, v₂, v₃.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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