Álgebra (27) · Unidad 4 — Espacios vectoriales

Bases y dimensión

Una base genera todo el espacio con la menor cantidad posible de vectores: si le sacás uno deja de generar. Todas las bases de un mismo espacio tienen la misma cantidad de vectores, y ese número es la dimensión: cuántas direcciones independientes tiene.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Base

B = {v₁, …, v_n} es una base de V si 1) genera V y 2) es linealmente independiente

Las dos condiciones tiran para lados opuestos. Generar pide muchos vectores (que no falte ninguna dirección); ser independiente pide pocos (que no sobre ninguno). Una base es el punto justo: si le sacás uno deja de generar, y si le agregás uno deja de ser independiente.

Dimensión

Un mismo espacio tiene infinitas bases, pero todas tienen la misma cantidad de vectores. Ese número es la dimensión, dim(V). Al subespacio {0} se le asigna dimensión 0 (no tiene base: el único vector que tiene es el nulo, y un conjunto con el 0 no es LI).

dim(ℝⁿ) = n base canónica E = {(1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, …, 0, 1)}
dim(ℝ^m×n) = m·n las matrices con un 1 en un lugar y 0 en los demás
polinomios de grado ≤ n: dimensión n + 1, con la base {1, x, x², …, xⁿ}

La base canónica es la que se usa sin darse cuenta: (4, −1, 2) = 4(1, 0, 0) − (0, 1, 0) + 2(0, 0, 1). En ℝ^2×2 son cuatro matrices, así que dim = 4, aunque cada matriz «tenga forma» de 2×2.

La imagen

En ℝ³, una recta por el origen tiene dimensión 1: la genera una sola flecha. Un plano por el origen, 2: hacen falta dos flechas no alineadas, y cualquier par de flechas no alineadas del plano sirve de base. ℝ³, 3. La dimensión cuenta direcciones independientes, no puntos ni ecuaciones.

Un subespacio dado por ecuaciones

S = {x ∈ ℝⁿ / A·x = 0} ⟹ dim(S) = n − rg(A)

Cada ecuación independiente «come» una dimensión. Y la base sale sola al resolver: cada variable libre aporta un generador, y esos generadores son automáticamente independientes, porque cada uno tiene un 1 en la posición de su variable libre donde los otros tienen 0.

Procedimiento: base y dimensión de S = {A·x = 0}.
1. Escalonar A y contar las filas no nulas: rg(A).
2. dim(S) = n − rg(A). Ya sabés cuántos vectores tiene que tener la base.
3. Despejar las variables principales en función de las libres y escribir x como combinación: un vector por variable libre.
4. Controlar que cada vector de la base cumpla todas las ecuaciones originales (no sólo las escalonadas).

Ojo con las ecuaciones repetidas: si una es combinación de otras no cuenta, porque no baja el rango. Por eso se escalona antes de restar.

Un subespacio dado por generadores

La dimensión es el rango de la matriz que tiene a los generadores como columnas (o como filas: el rango es el mismo). Para dar una base hay que sacar los que sobran, que es lo que hace el tema que sigue.

El atajo que más se usa

Si dim(V) = n, entonces n vectores de V que sean LI ya son base (y n que generen, también)
Si S ⊆ T y dim(S) = dim(T), entonces S = T

Sabiendo la dimensión, se chequea una sola de las dos condiciones. Tres vectores de ℝ³ con determinante no nulo son una base, sin verificar que generan. Y para probar que dos subespacios son iguales alcanza con ver que uno está dentro del otro y que tienen la misma dimensión.

Con un parámetro. Si los generadores dependen de k, la dimensión cambia en los k donde baja el rango: se calcula el determinante (si la matriz es cuadrada) o se escalona, y se separan los casos.

Base = genera + independiente. Dimensión = cantidad de vectores de cualquier base. Para un sistema homogéneo, dim = n − rg; y cuando ya sabés la dimensión, alcanza con verificar la mitad.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallá una base y la dimensión de S = {x ∈ ℝ⁴ / x₁ + 2x₂ − x₄ = 0, x₂ − x₃ + x₄ = 0}.

La dimensión primero. La matriz del sistema ya está escalonada:

A = [[1, 2, 0, −1], [0, 1, −1, 1]] → rg(A) = 2 → dim(S) = 4 − 2 = 2

Así que la base va a tener exactamente dos vectores. Las variables principales son x₁ y x₂ (las de los pivotes); las libres, x₃ y x₄.

Despejo. De la segunda ecuación, x₂ = x₃ − x₄. En la primera:

x₁ = −2x₂ + x₄ = −2(x₃ − x₄) + x₄ = −2x₃ + 3x₄

Escribo el vector general separando las libres:

x = (−2x₃ + 3x₄, x₃ − x₄, x₃, x₄) = x₃·(−2, 1, 1, 0) + x₄·(3, −1, 0, 1)

Respuesta: B = {(−2, 1, 1, 0), (3, −1, 0, 1)} es base de S y dim(S) = 2.

Controles.
1. Cada vector cumple las dos ecuaciones: (−2, 1, 1, 0) da −2 + 2 − 0 = 0 y 1 − 1 + 0 = 0 ✔; (3, −1, 0, 1) da 3 − 2 − 1 = 0 y −1 − 0 + 1 = 0 ✔.
2. Son independientes sin cuentas: en la tercera coordenada el primero tiene 1 y el segundo 0, y en la cuarta al revés. Ninguno puede ser múltiplo del otro.
3. Son 2 = dim(S) vectores LI de S: por el atajo, ya son base, sin verificar aparte que generan.

Otra base posible, por ejemplo: {(−2, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1)}, donde el segundo es la suma de los dos de antes. Cualquier par de vectores de S no paralelos sirve.

Y uno del nivel del parcial

Para cada k ∈ ℝ sea T_k = ⟨(1, k, 0), (0, 1, k), (1, 0, −1)⟩. Determiná dim(T_k) según k y, en los casos en que no es ℝ³, dá una base.

Son tres vectores de ℝ³: si son LI, T_k = ℝ³. Como la matriz es cuadrada, decido por el determinante (con los vectores como columnas):

det [[1, 0, 1], [k, 1, 0], [0, k, −1]] = 1·(1·(−1) − 0·k) − 0 + 1·(k·k − 1·0) = −1 + k² = k² − 1

Se anula en k = 1 y en k = −1.

k ≠ ±1: det ≠ 0, los tres son LI → dim(T_k) = 3, T_k = ℝ³

k = 1. Los vectores son (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, −1). Los dos primeros no son paralelos, así que el rango es al menos 2, y como el determinante es 0, es exactamente 2. De hecho (1, 0, −1) = (1, 1, 0) − (0, 1, 1):

dim(T₁) = 2, base {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}

k = −1. Los vectores son (1, −1, 0), (0, 1, −1), (1, 0, −1). Otra vez los dos primeros no son paralelos y (1, 0, −1) = (1, −1, 0) + (0, 1, −1):

dim(T₋₁) = 2, base {(1, −1, 0), (0, 1, −1)}

Dónde se pierde el punto. En los casos especiales, en decir «dim = 2» sin justificar que no es 1: hay que mostrar dos vectores no paralelos. Y en olvidarse de k = −1: k² − 1 = 0 tiene dos raíces. El control final es escribir el tercer vector como combinación de los otros dos en cada caso: si la combinación cierra, el determinante estaba bien.

Dónde se cae la mayoría

Creer que dim(ℝ²ˣ²) es 2 porque la matriz es de 2×2. Se cuentan las entradas libres: son 4.
Calcular la dimensión de {A·x = 0} como la cantidad de ecuaciones, o como n menos la cantidad de ecuaciones sin escalonar. Lo que se resta es el rango.
Dar como base un conjunto que genera pero tiene vectores de más. Si sobra alguno, no es independiente.
Controlar la base sólo con el sistema escalonado. Los vectores tienen que cumplir las ecuaciones originales.
Pensar que un subespacio tiene una única base. Tiene infinitas; lo que es único es cuántos vectores tienen.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Bases y dimensión →

Dónde entra este tema en el parcial

Segundo parcial — Intersección y suma en ℝ⁴25 puntos · resuelto paso a paso

Los otros temas de la unidad 4

Espacios vectoriales

Ver todos los temas de Álgebra (27)