Álgebra (27) · Unidad 3 — Determinantes

Cramer, inversibilidad e independencia

El determinante es un detector: si da distinto de cero, la matriz es inversible, las filas son independientes y el sistema tiene solución única. Todo es la misma pregunta.

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La explicación

El teorema que une todo

Para A ∈ ℝ^n×n, son equivalentes:

• det(A) ≠ 0
• A es inversible
• rg(A) = n
• las filas de A son linealmente independientes
• las columnas de A son linealmente independientes
• A·X = 0 tiene sólo la solución trivial
• A·X = B tiene solución única para todo B

"Equivalentes" quiere decir que si una se cumple, se cumplen todas. No son siete propiedades para memorizar: son siete caras de la misma. Por eso un ejercicio puede preguntar cualquiera de ellas y contestarse calculando el determinante, que suele ser lo más rápido.

Regla de Cramer

Si A es cuadrada e inversible, el sistema A·X = B se resuelve directamente:

x_i = det(A_i) / det(A)

donde A_i es A con la columna i reemplazada por B.

2x + y = 5
x + 3y = 10

det(A) = 6 − 1 = 5
det(A₁) = det[[5, 1], [10, 3]] = 15 − 10 = 5 → x = 5/5 = 1
det(A₂) = det[[2, 5], [1, 10]] = 20 − 5 = 15 → y = 15/5 = 3

Control: 2 + 3 = 5 ✔ y 1 + 9 = 10 ✔.

Cramer es cómoda pero cara. Para un sistema 3×3 hay que calcular cuatro determinantes de 3×3; Gauss resuelve lo mismo con una triangulación. Conviene cuando se necesita una sola incógnita —ahí se calculan sólo dos determinantes— o cuando el sistema tiene parámetros y querés la solución en función de ellos. Y no sirve si det(A) = 0: ahí no dice nada, hay que ir a Gauss.

Independencia lineal

v₁, …, v_n son linealmente independientes si
a₁v₁ + … + a_nv_n = 0 sólo con a₁ = … = a_n = 0

La única forma de combinarlos para llegar al vector nulo es con todos los coeficientes en cero. Si hay otra, son dependientes y al menos uno se escribe en función de los demás.

n vectores de ℝⁿ → matriz cuadrada → determinante
otra cantidad → triangular y mirar el rango

Y el conteo que se responde sin calcular: más de n vectores en ℝⁿ son siempre dependientes, y menos de n nunca generan todo ℝⁿ. Esto se formaliza en la unidad de espacios vectoriales.

Una lectura geométrica

en ℝ²: |det| = área del paralelogramo que forman las filas
en ℝ³: |det| = volumen del paralelepípedo que forman las filas

Y con eso "det = 0" se vuelve intuitivo: área o volumen cero significa que los vectores están aplastados — alineados en ℝ², coplanares en ℝ³. Que es exactamente ser dependientes. De hecho el determinante 3×3 de tres vectores es el producto mixto del tema 1.3: la misma cuenta con otro nombre.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Decidir si v₁ = (1, 2, 3), v₂ = (2, 5, 7) y v₃ = (3, 6, 8) forman una base de ℝ³, y si no, escribir una relación de dependencia.

Son 3 vectores de ℝ³, así que la matriz es cuadrada y el criterio es el determinante.

A = ⎡ 1 2 3 ⎤
⎢ 2 5 7 ⎥
⎣ 3 6 8 ⎦

Conviene triangular, porque sumarle a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante y de paso muestra la dependencia si la hay:

F₂ → F₂ − 2F₁: (0, 1, 1)
F₃ → F₃ − 3F₁: (0, 0, −1)

det = 1 · 1 · (−1) = −1

Distinto de cero, así que los tres sí forman una base de ℝ³. No hay relación de dependencia que escribir.

Y con eso quedan contestadas de una vez todas estas preguntas: A es inversible, su rango es 3, A·X = 0 tiene sólo la solución trivial, A·X = B tiene solución única para cualquier B, y las columnas también son independientes. Un solo determinante.

Qué habría pasado si daba cero. La triangulación habría dejado una fila de ceros, y los coeficientes que usaste para llegar a ella son la relación de dependencia. Por ejemplo, si F₃ − 3F₁ hubiera dado (0,0,0), la relación sería v₃ = 3v₁.

Control geométrico: |det| = 1 es el volumen del paralelepípedo que arman los tres. Es chico —apuntan todos más o menos para el mismo lado— pero no es cero, así que no son coplanares. Que dé chico es normal y no indica error.

Y uno del nivel del parcial

Sea el sistema kx + y + 2z = 1, x + z = 1, 2x + y + kz = 3. a) Hallar los k ∈ ℝ para los que tiene solución única. b) Para esos k, hallar y usando la regla de Cramer. c) Decidir qué pasa con k = 2.

a) Solución única ⟺ det(A) ≠ 0. La segunda fila, (1, 0, 1), tiene un cero: se desarrolla por ella. Los signos de la fila 2 son −, +, −.

A = [[k, 1, 2], [1, 0, 1], [2, 1, k]]
det(A) = −1·det[[1, 2], [1, k]] + 0 − 1·det[[k, 1], [2, 1]] = −(k − 2) − (k − 2) = −2(k − 2)

Se anula sólo en k = 2. El sistema tiene solución única para todo k ≠ 2.

b) y por Cramer. Se reemplaza la segunda columna (la de y) por los términos independientes (1, 1, 3):

A₂ = [[k, 1, 2], [1, 1, 1], [2, 3, k]]
det(A₂) = k(k − 3) − 1·(k − 2) + 2·(3 − 2) = k² − 4k + 4 = (k − 2)²

y = det(A₂)/det(A) = (k − 2)² / (−2(k − 2)) = (2 − k)/2 (k ≠ 2)

Acá Cramer conviene de verdad. Se pide una sola incógnita y en función de un parámetro: son dos determinantes y ninguna triangulación. Con Gauss habría que triangular con k adentro y despejar las tres. La simplificación por (k − 2) es legítima justamente porque ya se pidió k ≠ 2.

Control con un valor concreto. Con k = 0 la fórmula da y = 1. Resolviendo el sistema con k = 0: y + 2z = 1, x + z = 1, 2x + y = 3. De la primera y la tercera, 2z = 1 − y = 2x − 2, o sea z = x − 1, y con la segunda, x + x − 1 = 1: x = 1, z = 0, y = 1 ✔.

c) k = 2. Cramer no dice nada (dividiría por cero), así que hay que mirar el sistema:

2x + y + 2z = 1
x + z = 1
2x + y + 2z = 3

La primera y la tercera tienen el mismo lado izquierdo y distinto lado derecho: 1 = 3 es imposible. Con k = 2 el sistema es incompatible. Que el determinante dé cero dice «no hay solución única»; cuál de los otros dos casos es, lo decide la cuenta.

Dónde se cae la mayoría

Usar Cramer cuando det(A) = 0. Ahí no dice nada: hay que ir a Gauss.
Calcular el determinante de una matriz no cuadrada. Para eso se usa el rango.
Olvidar que más de n vectores en ℝⁿ son dependientes siempre, sin necesidad de calcular.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Un determinante de 4×4 con parámetro25 puntos · resuelto paso a paso

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