Álgebra (27) · Unidad 3 — Determinantes

Cómo se calcula un determinante

El determinante es un número que se le asigna a una matriz cuadrada. El de 2×2 es directo; los más grandes se reducen a determinantes más chicos.

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La explicación

De 2×2

A = [[a, b], [c, d]] det(A) = a d − b c

Producto de la diagonal principal menos producto de la otra. Es la misma cuenta que apareció en la fórmula de la inversa, y no es casualidad.

De 3×3: desarrollo por cofactores

Se elige una fila o columna, y por cada elemento se calcula el determinante de la 2×2 que queda al tachar su fila y su columna. Ese es el menor M_ij, y el cofactor es C_ij = (−1)^i+j·M_ij.

det(A) = a₁₁·M₁₁ − a₁₂·M₁₂ + a₁₃·M₁₃

Los signos alternan como un tablero de ajedrez, empezando con + arriba a la izquierda:

+ − +
− + −
+ − +

Olvidar el menos del medio es el error más frecuente del tema.

El truco que ahorra la mitad del trabajo

Se puede desarrollar por cualquier fila o columna: el resultado es el mismo. Entonces conviene elegir la que tenga más ceros, porque cada cero anula un menor entero.

⎡ 1 5 3 ⎤
⎢ 0 2 0 ⎥ ← por acá: sólo sobrevive un término
⎣ 4 7 6 ⎦

det = 2·(1·6 − 3·4) = 2·(−6) = −12

Regla de Sarrus (sólo 3×3)

Se repiten las dos primeras columnas a la derecha, se suman los tres productos de las diagonales que bajan hacia la derecha y se restan los tres que bajan hacia la izquierda.

det = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃

Sarrus sirve únicamente para 3×3. Aplicarla a una 4×4 da cualquier cosa. Los cofactores, en cambio, funcionan para cualquier tamaño: de 4×4 se pasa a cuatro determinantes de 3×3.

Casos que salen de memoria

det(I) = 1
triangular → el determinante es el producto de la diagonal
una fila (o columna) de ceros → det = 0
dos filas iguales → det = 0

El de las triangulares es el más útil: si ya trianguizaste la matriz, el determinante sale multiplicando la diagonal.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Calcular el determinante de A = [[1, 3, 2], [2, 5, 3], [4, 7, 5]] por cofactores y verificarlo con Sarrus.

Por cofactores, primera fila.

M₁₁ = det[[5, 3], [7, 5]] = 25 − 21 = 4
M₁₂ = det[[2, 3], [4, 5]] = 10 − 12 = −2
M₁₃ = det[[2, 5], [4, 7]] = 14 − 20 = −6

det(A) = 1·4 − 3·(−2) + 2·(−6) = 4 + 6 − 12 = −2

Fijate en el segundo término: el menor dio −2 y el signo del desarrollo es −, así que el término es −3·(−2) = +6. Dos negativos que se combinan es exactamente donde se equivoca casi todo el mundo. Conviene escribir los menores primero, con su signo, y recién después armar la suma.

Verificación con Sarrus.

suman: 1·5·5 + 3·3·4 + 2·2·7 = 25 + 36 + 28 = 89
restan: 2·5·4 + 1·3·7 + 3·2·5 = 40 + 21 + 30 = 91
det = 89 − 91 = −2 ✔

Qué significa que dio distinto de cero. Que A es inversible, que sus filas son linealmente independientes, y que A·X = B tiene solución única para cualquier B. El determinante no es una cuenta suelta: es un detector, y eso es el tema 3.3.

Control de razonabilidad: si cambiás el 5 de abajo a la derecha por un 3, las filas pasan a ser dependientes y el determinante da 0. Una matriz "casi singular" tiene determinante chico, como este −2 frente a números del orden de 90 en las cuentas intermedias.

Y uno del nivel del parcial

Calcular el determinante de B = [[3, 1, 0, 2], [0, 2, 0, 0], [1, 4, 2, 1], [2, 5, 0, 1]] (escrita por filas), eligiendo bien por dónde desarrollar, y verificar el resultado por otro camino.

Mirar antes de calcular. Desarrollar una 4×4 por una fila cualquiera son cuatro determinantes de 3×3, o sea doce de 2×2. Pero la segunda fila es (0, 2, 0, 0): tiene un solo elemento no nulo, y desarrollar por ella deja un único término.

det(B) = 2 · (−1)²⁺² · M₂₂ = 2 · M₂₂

El signo de la posición (2,2) es +, porque 2 + 2 es par (en el tablero, la diagonal es toda de +). M₂₂ es el determinante que queda al tachar la fila 2 y la columna 2:

M₂₂ = det [[3, 0, 2], [1, 2, 1], [2, 0, 1]]

Y otra vez lo mismo. En esta 3×3 la segunda columna es (0, 2, 0): un solo elemento vivo, también en la posición (2,2).

M₂₂ = 2 · (−1)²⁺² · det [[3, 2], [2, 1]] = 2 · (3 − 4) = −2

det(B) = 2 · (−2) = −4

El costo de haber mirado. Con la primera fila, (3, 1, 0, 2), habría tres términos vivos y tres determinantes de 3×3 enteros. Eligiendo bien, la cuenta completa fue un determinante de 2×2. Los ejercicios de parcial casi siempre esconden una fila o una columna así: buscarla es parte del ejercicio.

Verificación por otro camino. M₂₂ por Sarrus, sin aprovechar ningún cero:

suman: 3·2·1 + 0·1·2 + 2·1·0 = 6
restan: 2·2·2 + 3·1·0 + 0·1·1 = 8
M₂₂ = 6 − 8 = −2 ✔

Y el primer paso se puede controlar por columnas: la segunda columna de B es (1, 2, 4, 5), sin ceros, así que desarrollar por ella sería peor; en cambio la tercera columna, (0, 0, 2, 0), también tiene un solo elemento vivo, en la posición (3,3). Por ahí: det(B) = 2 · det [[3, 1, 2], [0, 2, 0], [2, 5, 1]] = 2 · 2 · det [[3, 2], [2, 1]] = 4 · (−1) = −4 ✔. Dos caminos distintos, el mismo número.

Qué dice el resultado: det(B) ≠ 0, así que B es inversible y sus cuatro filas son linealmente independientes.

Dónde se cae la mayoría

Olvidar el signo menos del término del medio en el desarrollo de 3×3.
Usar Sarrus en una matriz de 4×4. Sólo vale para 3×3.
Desarrollar por la primera fila cuando hay otra con más ceros, y hacer el triple de cuentas.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Un determinante de 4×4 con parámetro25 puntos · resuelto paso a paso

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