Álgebra (27) · Unidad 2 — Sistemas lineales y matrices

Matriz inversa

La inversa de A es la matriz que al multiplicarla por A da la identidad. No todas la tienen, y se calcula triangulando A junto a la identidad.

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La explicación

Definición

A ∈ ℝ^n×n es inversible si existe A⁻¹ con
A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I

Sólo las cuadradas pueden tener inversa, y ni siquiera todas: las que no la tienen se llaman singulares.

A es inversible ⟺ rg(A) = n

Es decir: al triangular A no aparece ninguna fila de ceros. Si aparece, no hay inversa.

La inversa de 2×2

A = [[a, b], [c, d]]
A⁻¹ = 1/(ad − bc) · [[d, −b], [−c, a]] si ad − bc ≠ 0

Se intercambian los de la diagonal, se les cambia el signo a los otros dos, y se divide por ad − bc, que es el determinante. Si el determinante es 0 no hay inversa. Esta fórmula conviene sabérsela: los ejercicios de 2×2 son muy frecuentes.

El método general: [A | I]

[ A │ I ] → … → [ I │ A⁻¹ ]

Son las mismas tres operaciones de Gauss, pero acá hay que llegar hasta la identidad: también se hacen ceros arriba de los pivotes y se dividen las filas para dejar unos — o sea, Gauss-Jordan. Y todo lo que se le hace al lado izquierdo se le hace también al derecho, en la misma fila.

Si en el camino aparece una fila de ceros del lado izquierdo, se frena: A no es inversible.

Propiedades

(A⁻¹)⁻¹ = A
(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ se invierte el orden
(A^t)⁻¹ = (A⁻¹)^t

La segunda es análoga a la de la transpuesta y por la misma razón: para que los factores se cancelen de adentro hacia afuera.

Para qué sirve

A·X = B → X = A⁻¹·B (si A es inversible)

La inversa va a la izquierda en los dos miembros, porque el producto no conmuta. Y conceptualmente: si A es inversible, el sistema tiene solución única para cualquier B. Eso conecta la inversibilidad con Rouché-Frobenius, y las dos con el determinante.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar la inversa de A = [[2, 1], [1, 1]] por los dos métodos, y usarla para resolver A·X = (3, 2).

Método 1: la fórmula de 2×2.

ad − bc = 2·1 − 1·1 = 1 (≠ 0, así que existe)
A⁻¹ = [[1, −1], [−1, 2]]

Método 2: [A | I].

⎡ 2 1 │ 1 0 ⎤ F₁↔F₂ ⎡ 1 1 │ 0 1 ⎤
⎣ 1 1 │ 0 1 ⎦ → ⎣ 2 1 │ 1 0 ⎦

F₂ − 2F₁ → (0, −1 │ 1, −2)
−F₂ → (0, 1 │ −1, 2)
F₁ − F₂ → (1, 0 │ 1, −1)

Del lado izquierdo quedó la identidad, así que del derecho está la inversa. Coincide ✔

Verificación obligatoria: multiplicar.

A·A⁻¹ = [[2,1],[1,1]]·[[1,−1],[−1,2]]
(1,1): 2 − 1 = 1 (1,2): −2 + 2 = 0
(2,1): 1 − 1 = 0 (2,2): −1 + 2 = 1 → = I ✔

Nunca entregues una inversa sin hacer esta multiplicación: es la única verificación que detecta con seguridad un error de signo.

Resolver el sistema. X = A⁻¹·B, con la inversa a la izquierda:

X = [[1, −1], [−1, 2]] · (3, 2) = (3 − 2, −3 + 4) = (1, 1)

Control en el sistema original: 2·1 + 1 = 3 ✔ y 1 + 1 = 2 ✔.

Y uno del nivel del parcial

Sea A = [[2, 1, 0], [1, 1, 1], [0, 1, 3]] (escrita por filas). a) Hallar A⁻¹ por el método de [A │ I]. b) Hallar la matriz X ∈ ℝ¹ˣ³ tal que X·A = (1, 1, 1).

a) [A │ I] hasta [I │ A⁻¹]. Primero se sube una fila con un 1 adelante, para no trabajar con fracciones:

⎡ 2 1 0 │ 1 0 0 ⎤ ⎡ 1 1 1 │ 0 1 0 ⎤
⎢ 1 1 1 │ 0 1 0 ⎥ F₁↔F₂ ⎢ 2 1 0 │ 1 0 0 ⎥
⎣ 0 1 3 │ 0 0 1 ⎦ ⎣ 0 1 3 │ 0 0 1 ⎦

F₂ → F₂ − 2F₁: (0, −1, −2 │ 1, −2, 0)
F₃ → F₃ + F₂: (0, 0, 1 │ 1, −2, 1) ← ya está triangulada, y sin filas de ceros
F₂ → −F₂: (0, 1, 2 │ −1, 2, 0)

Ahora los ceros de arriba, de abajo hacia arriba:

F₂ → F₂ − 2F₃: (0, 1, 0 │ −3, 6, −2)
F₁ → F₁ − F₃: (1, 1, 0 │ −1, 3, −1)
F₁ → F₁ − F₂: (1, 0, 0 │ 2, −3, 1)

A⁻¹ = [[2, −3, 1], [−3, 6, −2], [1, −2, 1]]

Verificación obligatoria: multiplicar. Alcanza con una fila de A por las tres columnas de A⁻¹ para cazar la mayoría de los errores, pero la cuenta completa es corta:

fila 1 de A, (2, 1, 0): 4 − 3 = 1, −6 + 6 = 0, 2 − 2 = 0
fila 2 de A, (1, 1, 1): 2 − 3 + 1 = 0, −3 + 6 − 2 = 1, 1 − 2 + 1 = 0
fila 3 de A, (0, 1, 3): −3 + 3 = 0, 6 − 6 = 0, −2 + 3 = 1 → A·A⁻¹ = I ✔

Fijate que A es simétrica y A⁻¹ también. No es casualidad: la inversa de una simétrica siempre lo es, y sirve de control extra.

b) X·A = (1, 1, 1). Acá A multiplica por la derecha, así que la inversa también va por la derecha, en los dos miembros:

X·A·A⁻¹ = (1, 1, 1)·A⁻¹ → X = (1, 1, 1)·A⁻¹

Una fila por la matriz es sumar las filas de A⁻¹ con esos coeficientes:

X = (2 − 3 + 1, −3 + 6 − 2, 1 − 2 + 1) = (0, 1, 0)

Control: (0, 1, 0)·A es la segunda fila de A, que es (1, 1, 1) ✔. Y si se hubiera escrito X = A⁻¹·(1, 1, 1), el producto ni siquiera existe con (1, 1, 1) como fila: (3×3)(1×3) no encaja. El tamaño avisa de qué lado va la inversa.

Dónde se cae la mayoría

Buscar la inversa de una matriz no cuadrada.
Escribir (AB)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹. Es B⁻¹A⁻¹.
Despejar X = B·A⁻¹ en AX = B. La inversa va a la izquierda en los dos miembros.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — La ecuación matricial25 puntos · resuelto paso a paso

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