Álgebra (27) · Unidad 2 — Sistemas lineales y matrices

Sistemas y eliminación de Gauss

Un sistema se escribe como matriz ampliada y se triangula con operaciones de fila. Triangulado, se resuelve de abajo hacia arriba.

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La explicación

Del sistema a la matriz

x + y + z = 6 ⎡ 1 1 1 │ 6 ⎤
x − y + 2z = 5 → ⎢ 1 −1 2 │ 5 ⎥
2x + y − z = 1 ⎣ 2 1 −1 │ 1 ⎦

Es la matriz ampliada: coeficientes a la izquierda de la barra, términos independientes a la derecha. Las letras desaparecen porque sólo estorbaban.

Las variables van en el mismo orden en todas las ecuaciones, y donde falta una va un cero. Si una ecuación es x + z = 3, la fila es (1, 0, 1 │ 3). Armar mal la matriz es el error más caro, porque después todo el trabajo sale bien pero sobre el sistema equivocado.

Las tres operaciones permitidas

1. Intercambiar dos filas
2. Multiplicar una fila por un número distinto de cero
3. Sumarle a una fila un múltiplo de otra

Las tres no cambian el conjunto de soluciones: el sistema que queda es equivalente. La tercera es la que hace el trabajo. El "distinto de cero" de la segunda importa: multiplicar por 0 borra la ecuación.

El objetivo: forma triangular

⎡ 1 1 1 │ 6 ⎤
⎢ 0 −2 1 │ −1 ⎥
⎣ 0 0 −7 │ −21 ⎦

Se trabaja de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo: ceros debajo del primer pivote, después debajo del segundo, y así.

Sustitución hacia atrás

−7z = −21 → z = 3
−2y + 3 = −1 → y = 2
x + 2 + 3 = 6 → x = 1

Solución: (1, 2, 3).

Gauss-Jordan

Si además se hacen ceros arriba de cada pivote y se dividen las filas para dejar unos, se llega a la forma escalonada reducida, donde la solución se lee directamente sin sustituir. Es el mismo método llevado hasta el final, y es lo que se usa para invertir matrices.

Dos costumbres que ahorran errores

Evitá fracciones: en vez de F₂ → F₂ − (1/2)F₁, hacé F₂ → 2F₂ − F₁. Es la operación 2 seguida de la 3 y da lo mismo sin denominadores. Las fracciones a mitad de una triangulación son la fuente número uno de errores de cuenta.

Verificá en el sistema original, no en el triangulado. Si la solución cumple las tres ecuaciones de entrada, está bien aunque te hayas equivocado en el camino.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Resolver: x + 2y − z = 3, 2x + 3y + z = 7, x + y + 2z = 4.

Matriz ampliada.

⎡ 1 2 −1 │ 3 ⎤
⎢ 2 3 1 │ 7 ⎥
⎣ 1 1 2 │ 4 ⎦

Ceros debajo del primer pivote.

F₂ → F₂ − 2F₁: (0, −1, 3 │ 1)
F₃ → F₃ − F₁: (0, −1, 3 │ 1)

Y debajo del segundo: F₃ → F₃ − F₂ da (0, 0, 0 │ 0).

Apareció una fila entera de ceros, incluido el término independiente. Significa que la tercera ecuación no aportaba nada nuevo: era combinación de las otras dos. No es un error — es un sistema con infinitas soluciones.

La diferencia que hay que tener clarísima: (0 0 0 │ 0) es una ecuación que se cumple siempre. (0 0 0 │ 5) sería "0 = 5", que no se cumple nunca, y ahí el sistema no tendría solución.

Describir todas las soluciones. Quedaron dos ecuaciones y tres incógnitas, así que una variable queda libre. Tomamos z = t:

fila 2: −y + 3t = 1 → y = 3t − 1
fila 1: x + 2(3t − 1) − t = 3 → x = 5 − 5t

(x, y, z) = t(−5, 3, 1) + (5, −1, 0), t ∈ ℝ

Es una recta en ℝ³, y tiene sentido: tres planos que comparten una recta se cortan en ella.

Control con dos valores de t. Con t = 0: (5, −1, 0), y en la primera ecuación original 5 − 2 − 0 = 3 ✔. Con t = 1: (0, 2, 1), y 0 + 4 − 1 = 3 ✔. Probar dos valores distintos es lo que confirma que la familia entera es solución, y no sólo un punto.

Y uno del nivel del parcial

Hallar a, b ∈ ℝ para que (1, −1, 2) sea solución del sistema x + a y + z = 2, b x + y + z = 3, 3x + 2y + (a + 1) z = a + 4. Para esos valores de a y b, resolver el sistema.

Primero los parámetros. Que (1, −1, 2) sea solución quiere decir que, puesto en cada ecuación, la cumple. Se reemplaza x = 1, y = −1, z = 2:

1ª: 1 − a + 2 = 2 → a = 1
2ª: b − 1 + 2 = 3 → b = 2
3ª: 3 − 2 + 2(a + 1) = a + 4 → 2a + 3 = a + 4 → a = 1 ✔

La tercera no aporta un dato nuevo, pero es obligatoria. Si hubiera dado otro valor de a, no existiría ningún par (a, b) que sirva, y ésa sería la respuesta. Por eso se reemplaza en todas las ecuaciones, no sólo en las que hacen falta para despejar.

El sistema con a = 1 y b = 2.

⎡ 1 1 1 │ 2 ⎤
⎢ 2 1 1 │ 3 ⎥
⎣ 3 2 2 │ 5 ⎦

F₂ → F₂ − 2F₁: (0, −1, −1 │ −1)
F₃ → F₃ − 3F₁: (0, −1, −1 │ −1)
F₃ → F₃ − F₂: (0, 0, 0 │ 0)

Apareció una fila de ceros completa: la tercera ecuación era la suma de las otras dos (se ve a ojo: (1 + 2, 1 + 1, 1 + 1 │ 2 + 3) = (3, 2, 2 │ 5)). Quedan dos ecuaciones y tres incógnitas, así que hay infinitas soluciones con una variable libre. Tomamos z = t:

fila 2: −y − t = −1 → y = 1 − t
fila 1: x + (1 − t) + t = 2 → x = 1

(x, y, z) = (1, 1 − t, t) = t(0, −1, 1) + (1, 1, 0), t ∈ ℝ

El control que cierra todo: la solución del enunciado tiene que estar en la familia. Con t = 2 sale (1, −1, 2) ✔. Y otro valor, t = 0: (1, 1, 0) en las tres originales da 1 + 1 + 0 = 2 ✔, 2 + 1 + 0 = 3 ✔ y 3 + 2 + 0 = 5 ✔.

Fijate que x vale 1 en todas las soluciones. Se podía ver antes de triangular: restando la primera ecuación a la segunda queda x = 1 directamente.

Dónde se cae la mayoría

Armar la matriz ampliada sin poner ceros donde falta una variable.
Verificar la solución en la matriz triangulada en vez de en el sistema original.
Multiplicar una fila por cero, con lo que se pierde una ecuación.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — El sistema con el parámetro en un pivote25 puntos · resuelto paso a paso

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