Álgebra (27) · Unidad 2 — Sistemas lineales y matrices

Rango y Rouché-Frobenius

El rango cuenta cuántas ecuaciones realmente distintas quedaron. Comparándolo con la cantidad de incógnitas se sabe de antemano cuántas soluciones hay.

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La explicación

Rango

rg(A) = cantidad de filas no nulas después de triangular

Es cuántas ecuaciones independientes hay realmente. Si una fila se anula, esa ecuación era combinación de las otras y no aportaba nada.

El teorema de Rouché-Frobenius

A = matriz de coeficientes, A′ = ampliada, n = incógnitas

rg(A) ≠ rg(A′) → incompatible, sin solución
rg(A) = rg(A′) = n → compatible determinado, una sola
rg(A) = rg(A′) < n → compatible indeterminado, infinitas

Cómo se ve en la matriz triangulada, sin calcular dos rangos por separado.
• Una fila (0 … 0 │ k) con k ≠ 0 → el rango de la ampliada es mayor → incompatible.
• Las filas de ceros tienen también 0 a la derecha, y quedan menos filas útiles que incógnitas → infinitas.
• Tantas filas útiles como incógnitas → una sola.

En la práctica se triangula una vez y se mira la matriz. Nadie calcula dos rangos.

Grados de libertad

variables libres = n − rg(A)

Es cuántos parámetros van a aparecer en la solución general.

3 incógnitas, rango 2 → 1 parámetro → la solución es una recta
3 incógnitas, rango 1 → 2 parámetros → un plano
3 incógnitas, rango 3 → 0 parámetros → un punto

Sistemas homogéneos

A·X = 0 (todos los términos independientes en cero)

Un homogéneo nunca es incompatible: X = 0 siempre lo cumple, es la solución trivial. La única pregunta es si hay otras.

rg(A) = n → sólo la trivial
rg(A) < n → infinitas soluciones

Consecuencia que se responde sin cuentas: un homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene siempre infinitas soluciones, porque el rango no puede superar la cantidad de filas.

El conjunto de soluciones de un homogéneo va a reaparecer en la unidad de espacios vectoriales: es un subespacio, y eso no es casualidad.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Analizar el sistema x + y + z = 1, 2x + 2y + 2z = 2, x − y = 0. Clasificarlo y dar todas las soluciones.

Matriz y triangulación.

⎡ 1 1 1 │ 1 ⎤ F₂ → F₂ − 2F₁: (0, 0, 0 │ 0)
⎢ 2 2 2 │ 2 ⎥ F₃ → F₃ − F₁: (0, −2, −1 │ −1)
⎣ 1 −1 0 │ 0 ⎦

Reordenando para dejar la fila nula abajo:

⎡ 1 1 1 │ 1 ⎤
⎢ 0 −2 −1 │ −1 ⎥
⎣ 0 0 0 │ 0 ⎦

Clasificación. Quedaron 2 filas no nulas: rg(A) = 2. Y la fila de ceros tiene también 0 a la derecha, así que rg(A′) = 2.

rg(A) = rg(A′) = 2 < 3 = n → compatible indeterminado

Se veía venir. La segunda ecuación era exactamente el doble de la primera: la misma información escrita distinto. Cuando una ecuación es múltiplo de otra siempre va a desaparecer al triangular. Detectarlo a ojo antes de empezar ahorra tiempo.

Variables libres: 3 − 2 = 1. Va a haber un parámetro. Tomamos z = t:

fila 2: −2y − t = −1 → y = (1 − t)/2
fila 1: x + (1−t)/2 + t = 1 → x = (1 − t)/2

(x, y, z) = ( (1−t)/2, (1−t)/2, t ), t ∈ ℝ

Es una recta en ℝ³, como corresponde a un grado de libertad.

Control con dos valores. Con t = 1: (0, 0, 1) → 0 + 0 + 1 = 1 ✔ y 0 − 0 = 0 ✔. Con t = −1: (1, 1, −1) → 1 + 1 − 1 = 1 ✔ y 1 − 1 = 0 ✔. Los dos cumplen x = y, que es la tercera ecuación. La familia entera funciona.

Y uno del nivel del parcial

Sean A ∈ ℝ³ˣ³ y b ∈ ℝ³ con b ≠ 0. Se sabe que X₁ = (2, 1, −1) y X₂ = (0, 3, 1) son soluciones de A·X = b. a) Hallar una solución no trivial de A·X = 0. b) Hallar una recta formada por soluciones de A·X = b. c) Decidir si (4, −1, −3) y (4, 2, −2) son soluciones de A·X = b. d) ¿Qué se puede decir del rango de A?

No conocemos A. Todo tiene que salir de que el producto por A se distribuye: A(X + Y) = AX + AY y A(tX) = t·AX.

a) Una solución del homogéneo. Se restan las dos soluciones:

A(X₁ − X₂) = A·X₁ − A·X₂ = b − b = 0 → X₁ − X₂ = (2, −2, −2) resuelve A·X = 0

Y es no trivial porque X₁ ≠ X₂. Cualquier múltiplo sirve igual, por ejemplo (1, −1, −1).

b) Una recta de soluciones. A una solución de A·X = b se le puede sumar cualquier solución del homogéneo y sigue siéndolo:

A(X₂ + t(1, −1, −1)) = A·X₂ + t·A(1, −1, −1) = b + 0 = b

X = t(1, −1, −1) + (0, 3, 1), t ∈ ℝ

Con t = 0 da X₂ y con t = 2 da X₁: la recta pasa por las dos soluciones dadas, como tenía que pasar.

La estructura que hay detrás, y que va a volver en todo el resto de la materia:

solución general de A·X = b = una solución particular + las soluciones de A·X = 0

El conjunto de soluciones del homogéneo es un subespacio (pasa por el origen). El de A·X = b con b ≠ 0 no lo es: es ese subespacio trasladado, y el 0 no está, porque A·0 = 0 ≠ b.

c) Los dos candidatos.

(4, −1, −3) − X₂ = (4, −4, −4) = 4·(1, −1, −1) → está en la recta: sí es solución
(4, 2, −2) = 2·X₁ → A(2X₁) = 2b ≠ b → no es solución

El segundo es la trampa: el doble de una solución resolvería A·X = 2b, no A·X = b. Multiplicar por un número sólo preserva las soluciones del homogéneo.

d) El rango. A·X = 0 tiene una solución no trivial, así que el homogéneo no es compatible determinado: por Rouché-Frobenius, rg(A) < 3. Y rg(A) no puede ser 0, porque la matriz nula mandaría todo al 0 y b ≠ 0. Queda rg(A) = 1 o 2: con estos datos no se puede decidir cuál. Lo que sí se sabe es que A no es inversible.

Dónde se cae la mayoría

Decir que un sistema homogéneo puede ser incompatible. Siempre tiene la solución trivial.
Contar las filas de ceros como parte del rango.
Comparar el rango con la cantidad de ecuaciones en vez de con la de incógnitas.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — El sistema con el parámetro en un pivote25 puntos · resuelto paso a paso

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