Álgebra (27) · Unidad 2 — Sistemas lineales y matrices

Sistemas con parámetro

Cuando un coeficiente es una letra, el sistema cambia de comportamiento según su valor. Hay que triangular sin dividir por el parámetro y después analizar los casos.

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La explicación

El planteo

Un sistema con una letra entre los coeficientes no es un sistema: es una familia de sistemas, uno por cada valor. La consigna típica es "determinar para qué valores tiene solución única, infinitas, o ninguna".

La regla de oro

Nunca dividas por una expresión que contenga el parámetro sin analizar antes si puede valer cero. Si hacés F₂ → F₂ − (1/(a−1))F₁, estás asumiendo a ≠ 1 sin decirlo, y el caso a = 1 —que suele ser justo el interesante— se pierde.

La forma segura: triangular usando como pivote las filas que no tienen parámetro, y dejar el parámetro para el final, donde se lo analiza tranquilo.

El método

1. Triangular sin dividir por expresiones con el parámetro.
2. Mirar la última fila, que queda de la forma (0 … 0 p │ q).
3. Analizar:
p ≠ 0 → se despeja: solución única
p = 0 y q ≠ 0 → 0 = q imposible: incompatible
p = 0 y q = 0 → fila nula: infinitas soluciones

Un ejemplo con los tres casos

x + y + z = 1
x + 2y + z = 2
x + y + a z = b

F₂ − F₁: (0, 1, 0 │ 1)
F₃ − F₁: (0, 0, a−1 │ b−1)

a ≠ 1 → z = (b−1)/(a−1): única
a = 1 y b ≠ 1 → 0 = b−1 ≠ 0: incompatible
a = 1 y b = 1 → (0,0,0│0): infinitas

Fijate dónde quedó el parámetro: en el denominador, y sólo se divide por él después de haber declarado que a ≠ 1. Ese orden es lo que hace correcto el análisis.

Cómo presentar la respuesta

La respuesta no es un número: es una clasificación por casos. Conviene escribirla como tres renglones, uno por caso. Y si piden las soluciones, hay que darlas en cada caso donde existan.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Determinar para qué valores de k el sistema x + ky = 1, kx + y = 1 tiene solución única, infinitas o ninguna.

Matriz ampliada y triangulación, usando como pivote el 1 de arriba a la izquierda, que no depende de k:

⎡ 1 k │ 1 ⎤ F₂ → F₂ − k·F₁ (0, 1 − k² │ 1 − k)
⎣ k 1 │ 1 ⎦

Acá está la elección importante. Si en cambio hubiéramos usado la segunda fila como pivote, habría que dividir por k y perderíamos el caso k = 0 sin darnos cuenta.

Analizar la última fila. Factorizamos para ver los ceros: 1 − k² = (1 − k)(1 + k).

Caso 1: k ≠ 1 y k ≠ −1.

y = (1 − k) / ((1−k)(1+k)) = 1/(1+k), y x = 1 − k·y = 1/(1+k)
solución única

Caso 2: k = 1. La fila queda (0, 0 │ 0), y el sistema se reduce a x + y = 1:

infinitas soluciones, (x, y) = (1 − t, t)

Tiene sentido: con k = 1 las dos ecuaciones son idénticas.

Caso 3: k = −1. La fila queda (0, 0 │ 2), o sea 0 = 2:

incompatible

También tiene sentido: con k = −1 el sistema es x − y = 1 y −x + y = 1, dos rectas paralelas.

Respuesta
k ≠ 1 y k ≠ −1 → única k = 1 → infinitas k = −1 → ninguna

Control: los valores "especiales" son siempre los que anulan el coeficiente de la última fila. Si tu análisis no tiene ninguno, revisá: el ejercicio no tendría sentido con parámetro.

Y uno del nivel del parcial

Clasificar, según los valores de a ∈ ℝ, el sistema x + y − z = 2, x + 2y + z = 3, 2x + 3y + (a² − a − 2) z = a + 6, y resolverlo en el caso en que tiene infinitas soluciones.

Triangular sin tocar el parámetro. Los pivotes salen de las dos primeras filas, que no tienen a:

⎡ 1 1 −1 │ 2 ⎤
⎢ 1 2 1 │ 3 ⎥
⎣ 2 3 a² − a − 2 │ a + 6 ⎦

F₂ → F₂ − F₁: (0, 1, 2 │ 1)
F₃ → F₃ − 2F₁: (0, 1, a² − a │ a + 2)
F₃ → F₃ − F₂: (0, 0, a² − a − 2 │ a + 1)

Factorizar la última fila, que es donde vive el análisis. El pivote es a² − a − 2 = (a − 2)(a + 1):

(0, 0, (a − 2)(a + 1) │ a + 1)

Los dos valores que anulan el pivote hacen cosas distintas, y es por lo que hay que mirar también el lado derecho. Con a = −1 se anulan los dos lados; con a = 2 se anula el pivote pero el lado derecho vale 3. Simplificar el factor (a + 1) de los dos lados antes de separar casos haría desaparecer justo el caso de infinitas soluciones.

a ≠ 2 y a ≠ −1 → compatible determinado
a = 2 → (0, 0, 0 │ 3): 0 = 3, incompatible
a = −1 → (0, 0, 0 │ 0): compatible indeterminado

El caso de infinitas, a = −1. Quedan las dos primeras filas y z libre, z = t:

fila 2: y + 2t = 1 → y = 1 − 2t
fila 1: x + (1 − 2t) − t = 2 → x = 1 + 3t
(x, y, z) = t(3, −2, 1) + (1, 1, 0), t ∈ ℝ

Control en la ecuación que tenía el parámetro. Con a = −1, el coeficiente de z es 1 + 1 − 2 = 0 y el lado derecho es 5: la ecuación queda 2x + 3y = 5, y 2(1 + 3t) + 3(1 − 2t) = 5 para todo t ✔.

Y un control del caso único, para ver que la fórmula tiene sentido: con a ≠ 2, −1 sale z = 1/(a − 2). Con a = 3, z = 1, y = 1 − 2 = −1, x = 2 + 1 + 1 = 4; en la tercera ecuación, 2·4 + 3·(−1) + 4·1 = 9 = 3 + 6 ✔.

Dónde se cae la mayoría

Dividir por el parámetro sin separar antes el caso en que se anula.
Contestar con un solo valor. La respuesta es una clasificación por casos.
Olvidar el caso incompatible y decir sólo "única o infinitas".

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — El sistema con el parámetro en un pivote25 puntos · resuelto paso a paso

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