Álgebra (27) · Unidad 2 — Sistemas lineales y matrices

Matrices y producto

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Se suma elemento a elemento, pero el producto es fila por columna y no es conmutativo.

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La explicación

Notación

A ∈ ℝ^m×n m filas, n columnas
a_ij = el número en la fila i, columna j

Primero filas, después columnas, siempre. Una matriz 3×2 tiene 3 filas y 2 columnas.

A^t = la transpuesta: las filas de A pasan a ser columnas
si A es m×n, entonces A^t es n×m

Tipos que aparecen seguido: triangular superior (ceros debajo de la diagonal), inferior, diagonal, la identidad I, y las simétricas (A^t = A).

Suma y producto por escalar

A + B = (a_ij + b_ij) k·A = (k a_ij)

Elemento a elemento, y las dos matrices tienen que tener exactamente el mismo tamaño. Sin sorpresas.

Producto: fila por columna

(AB)_ij = (fila i de A) · (columna j de B)

Cada elemento del resultado es un producto escalar. Por eso los tamaños tienen que encajar:

A es m×n, B es n×s → AB es m×s

La regla de los tamaños es la primera pregunta, siempre. Se escriben los dos tamaños pegados —(m×n)(n×s)— y los números del medio tienen que coincidir. Si no coinciden, el producto no existe, y esa es la respuesta correcta al ejercicio, no un error.

Lo que el producto NO cumple

AB ≠ BA en general no es conmutativo
AB = 0 no implica A = 0 ni B = 0
AB = AC no implica B = C

Esas tres son las diferencias grandes con los números y las tres se usan como trampa. Puede pasar incluso que AB exista y BA no, por tamaños.

Lo que sí cumple

(AB)C = A(BC) asociativo
A(B + C) = AB + AC distributivo
A·I = I·A = A
(AB)^t = B^tA^t la transpuesta invierte el orden

La última se olvida muy seguido. Y se puede comprobar por tamaños: si A es 2×3 y B es 3×4, entonces B^tA^t es (4×3)(3×2) = 4×2, que es justo el tamaño de (AB)^t. A^tB^t ni siquiera se podría multiplicar.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sean A = [[1, 2], [0, 1]] y B = [[1, 0], [3, 1]] (2×2, escritas por filas). Calcular AB y BA, y comparar.

Los tamaños. (2×2)(2×2) = 2×2: los dos productos existen.

AB, fila por columna.

(1,1): (1,2)·(1,3) = 1 + 6 = 7 (1,2): (1,2)·(0,1) = 2
(2,1): (0,1)·(1,3) = 3 (2,2): (0,1)·(0,1) = 1

AB = [[7, 2], [3, 1]]

BA, al revés.

(1,1): (1,0)·(1,0) = 1 (1,2): (1,0)·(2,1) = 2
(2,1): (3,1)·(1,0) = 3 (2,2): (3,1)·(2,1) = 7

BA = [[1, 2], [3, 7]]

AB ≠ BA. Las dos existen, las dos son 2×2, tienen incluso los mismos cuatro números — y no son la misma matriz. Es el contraejemplo estándar: alcanza con un caso para probar que el producto no es conmutativo.

Por qué importa. En cuanto empieces a despejar con matrices no vas a poder "pasar multiplicando" como con números: hay que multiplicar por el mismo lado en los dos miembros. De AX = B se despeja A⁻¹AX = A⁻¹B, con A⁻¹ a la izquierda de los dos lados. Multiplicar por la derecha de un lado y por la izquierda del otro cambia el resultado.

Control: la fila 1 de AB usa sólo la fila 1 de A, y la columna 1 de AB usa sólo la columna 1 de B. Si un número salió mezclando dos filas de A, el error está ahí.

Y uno del nivel del parcial

Hallar todas las matrices X ∈ ℝ²ˣ² que conmutan con A = [[1, 1], [2, 0]] (escrita por filas), es decir, todas las X tales que A·X = X·A.

La incógnita es una matriz, así que se la escribe con cuatro letras y la ecuación matricial se convierte en un sistema:

X = [[p, q], [r, s]]

A·X = [[1, 1], [2, 0]]·[[p, q], [r, s]] = [[p + r, q + s], [2p, 2q]]
X·A = [[p, q], [r, s]]·[[1, 1], [2, 0]] = [[p + 2q, p], [r + 2s, r]]

Dos matrices son iguales cuando coinciden lugar por lugar, así que quedan cuatro ecuaciones:

(1,1): p + r = p + 2q → r = 2q
(1,2): q + s = p
(2,1): 2p = r + 2s
(2,2): 2q = r

La primera y la cuarta dicen lo mismo. Con r = 2q y p = q + s, la tercera queda 2q + 2s = 2q + 2s: se cumple sola. Son cuatro ecuaciones pero sólo dos independientes, y quedan dos letras libres, q y s:

X = [[q + s, q], [2q, s]], q, s ∈ ℝ

Una forma de leer el resultado. Separando las dos letras, X = q·[[1, 1], [2, 0]] + s·[[1, 0], [0, 1]] = q·A + s·I. Las matrices que conmutan con A son exactamente las combinaciones de A y de la identidad. Era de esperar que estuvieran esas dos (A conmuta consigo misma, e I con todas); lo que dice la cuenta es que no hay ninguna más.

Control con un caso concreto que no sea ni A ni I: con q = 1 y s = 1, X = [[2, 1], [2, 1]].

A·X = [[1·2 + 1·2, 1·1 + 1·1], [2·2 + 0, 2·1 + 0]] = [[4, 2], [4, 2]]
X·A = [[2 + 2, 2 + 0], [2 + 2, 2 + 0]] = [[4, 2], [4, 2]] ✔

Y un contraejemplo, para ver que la condición no es vacía: [[0, 1], [0, 0]] no es de esa forma (tendría q = 1 y 2q = 0), y efectivamente A·[[0, 1], [0, 0]] = [[0, 1], [0, 2]] mientras que [[0, 1], [0, 0]]·A = [[2, 0], [0, 0]].

Dónde se cae la mayoría

Escribir AB = BA. El producto de matrices no es conmutativo.
Multiplicar matrices cuyos tamaños no encajan.
Escribir (AB)ᵗ = AᵗBᵗ. Es BᵗAᵗ.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — La ecuación matricial25 puntos · resuelto paso a paso

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