Álgebra (27) · Unidad 3 — Determinantes

Propiedades del determinante

Las propiedades permiten calcular determinantes grandes sin desarrollar nada: se triangula la matriz y se multiplica la diagonal.

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La explicación

Cómo reaccionan a las operaciones de fila

intercambiar dos filas → cambia de signo
multiplicar una fila por k → queda multiplicado por k
sumarle a una fila un múltiplo de otra → no cambia

La tercera es la que hace todo el trabajo. Es justo la operación de Gauss y no altera el determinante: se puede triangular tranquilamente y después multiplicar la diagonal. Las otras dos hay que compensarlas — un cambio de signo por cada intercambio, y dividir por k si multiplicaste una fila.

Productos, transpuestas e inversas

det(A·B) = det(A)·det(B) sí respeta el producto
det(A^t) = det(A)
det(A⁻¹) = 1 / det(A)
det(k·A) = kⁿ·det(A) con A de n×n

det(A + B) ≠ det(A) + det(B) NO respeta la suma

Las dos últimas son las trampas habituales. El kⁿ: multiplicar toda la matriz por k es multiplicar las n filas por k, y cada una aporta un factor. Para una 3×3, det(2A) = 8·det(A), no 2·det(A).

Y la suma no se lleva bien con el determinante: con A = B = I de 2×2, det(A + B) = det(2I) = 4 pero det(A) + det(B) = 2.

Cuándo da cero

det(A) = 0 ⟺ las filas de A son linealmente dependientes

En particular da cero si hay una fila de ceros, dos filas iguales, o una que es múltiplo de otra. Detectarlo a ojo evita calcular nada.

Triangular para calcular

⎡ 1 2 3 ⎤ F₂−2F₁ ⎡ 1 2 3 ⎤
⎢ 2 5 7 ⎥ F₃−3F₁ ⎢ 0 1 1 ⎥
⎣ 3 6 8 ⎦ → ⎣ 0 0 −1 ⎦

Las dos operaciones fueron del tercer tipo, así que el determinante no cambió: det = 1·1·(−1) = −1. Para 4×4 o más, este camino es mucho más corto que desarrollar por cofactores.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Si A es 3×3 con det(A) = −3, calcular det(2A), det(Aᵗ), det(A⁻¹) y det(A²).

Ninguno pide calcular la matriz: todos salen de las propiedades.

det(2A). Multiplicar la matriz por 2 es multiplicar las tres filas por 2, y cada una aporta un factor:

det(2A) = 2³ · (−3) = −24

El exponente es el tamaño de la matriz, no el escalar. Si A fuera 2×2 daría −12, y si fuera 4×4, −48. Contestar 2·(−3) = −6 es el error clásico, y se evita recordando por qué: hay una fila multiplicada por cada dimensión.

det(Aᵗ) = −3. Transponer no cambia el determinante — y esa propiedad es la que justifica que se pueda desarrollar tanto por filas como por columnas.

det(A⁻¹). Como A·A⁻¹ = I y el determinante respeta el producto:

det(A)·det(A⁻¹) = det(I) = 1 → det(A⁻¹) = −1/3

Esa deducción de un renglón también demuestra la propiedad en vez de pedirte que la memorices. Y deja claro por qué una matriz con determinante 0 no puede tener inversa: no hay número que multiplicado por 0 dé 1.

det(A²) = det(A)·det(A) = 9. Positivo aunque det(A) sea negativo: el determinante de un cuadrado nunca puede dar negativo.

det(2A) = −24, det(Aᵗ) = −3, det(A⁻¹) = −1/3, det(A²) = 9

Control: todos dieron distinto de cero, lo cual es obligatorio — si det(A) ≠ 0, ninguna de esas matrices puede ser singular.

Y uno del nivel del parcial

Sea M = [[0, 2, 1, 3], [1, 1, 0, 2], [2, 4, 2, 6], [1, 3, 2, 1]] (escrita por filas). a) Calcular det(M) triangulando, y llevando la cuenta de cada operación que cambia el determinante. b) Con ese valor, calcular det(Mᵗ), det(−M) y det(2M⁻¹).

a) La contabilidad. Se triangula anotando, al costado, qué le hace cada operación al determinante. Sólo dos tipos lo cambian: intercambiar filas (cambia el signo) y sacar un factor de una fila (lo multiplica por ese factor).

F₁ ↔ F₂: las filas quedan (1, 1, 0, 2), (0, 2, 1, 3), (2, 4, 2, 6), (1, 3, 2, 1) → × (−1)
F₃ = 2·(1, 2, 1, 3): se saca el 2 afuera y F₃ pasa a ser (1, 2, 1, 3) → × 2
F₃ − F₁ = (0, 1, 1, 1) y F₄ − F₁ = (0, 2, 2, −1) → no cambia

Queda (1, 1, 0, 2), (0, 2, 1, 3), (0, 1, 1, 1), (0, 2, 2, −1). Para no usar fracciones con el 2 de pivote, conviene subir la fila que empieza con 1:

F₂ ↔ F₃: la segunda y la tercera fila pasan a ser (0, 1, 1, 1) y (0, 2, 1, 3) → × (−1)
F₃ − 2F₂ = (0, 0, −1, 1) y F₄ − 2F₂ = (0, 0, 0, −3) → no cambia

⎡ 1 1 0 2 ⎤
⎢ 0 1 1 1 ⎥
⎢ 0 0 −1 1 ⎥ diagonal: 1 · 1 · (−1) · (−3) = 3
⎣ 0 0 0 −3 ⎦

Ahora se deshace la contabilidad: el determinante de M es el de la triangular multiplicado por todos los factores anotados.

det(M) = (−1) · 2 · (−1) · 3 = 6

El error de siempre es el signo de los intercambios. Acá hubo dos, así que los dos −1 se cancelan; con uno solo el resultado habría sido −6. Anotarlos al costado, en el momento, es la única forma segura de no perder ninguno. Y el factor 2 de la tercera fila va multiplicando: al sacarlo, la matriz que queda tiene determinante 3, y M el doble.

b) Con det(M) = 6, todo lo demás es propiedad.

det(Mᵗ) = det(M) = 6
det(−M) = (−1)⁴ · 6 = 6 (cuatro filas, cada una con su −1)
det(2M⁻¹) = 2⁴ · det(M⁻¹) = 16 · 1/6 = 8/3

El de −M engaña: como la matriz es de 4×4, cambiarle el signo a todo no cambia el signo del determinante. En una 3×3 sí lo cambiaría.

Dónde se cae la mayoría

Escribir det(A + B) = det(A) + det(B). El determinante respeta el producto, no la suma.
Escribir det(kA) = k·det(A). Es kⁿ, con n el tamaño de la matriz.
Triangular intercambiando filas y olvidar el cambio de signo.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Un determinante de 4×4 con parámetro25 puntos · resuelto paso a paso

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