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Álgebra (27) · Unidad 1 — Vectores, rectas y planos

Planos en ℝ³

Un plano queda determinado por un punto y un vector perpendicular. Ese normal es toda la información: los coeficientes de la ecuación son sus coordenadas.

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La explicación

La definición

Π : (X − Q) · N = 0

El plano que pasa por Q y es perpendicular a N son todos los X tales que el vector de Q a X es perpendicular a N.

Ecuación implícita

Desarrollando con N = (a, b, c) y X = (x, y, z):

Π : a x + b y + c z = d      con  d = Q · N
Los coeficientes SON el normal. De 2x − y + 3z = 8 se lee, sin ninguna cuenta, que N = (2, −1, 3). Y al revés: con el normal y un punto, la ecuación sale en un renglón. Ese ida y vuelta es la mitad de los ejercicios de planos.
Q = (1, 0, 2), N = (2, −1, 3)
d = Q · N = 2 − 0 + 6 = 8  →  Π : 2x − y + 3z = 8

Ecuación paramétrica

Si P, Q y R están en el plano y no están alineados:

Π : X = α(P − R) + β(Q − R) + R      (α, β ∈ ℝ)

Dos parámetros, porque un plano tiene dos dimensiones. Los vectores P − R y Q − R son direcciones del plano: están adentro, no son normales.

De paramétrica a implícita: el producto vectorial

N = u × w

Porque el producto vectorial da un vector perpendicular a los dos, y perpendicular a dos direcciones del plano es perpendicular al plano entero. Es la aplicación principal del producto vectorial en la materia.

1. Armar dos direcciones: u = P − R, w = Q − R
2. N = u × w
3. d = R · N
4. Escribir a x + b y + c z = d

Control: los tres puntos tienen que verificar la ecuación. Si alguno no da, hay error.

Posiciones relativas

normales paralelos, misma ecuación salvo factor → coincidentes
normales paralelos, distinta ecuación           → paralelos
normales no paralelos                              → se cortan en una recta

Dos planos nunca se cortan en un solo punto: o no se tocan, o comparten una recta entera, o son el mismo. Sirve para descartar respuestas absurdas.

Recta y plano

Acá se compara el director v de la recta con el normal N del plano, y la pregunta se da vuelta: v · N = 0 significa paralelismo, porque la recta es perpendicular al normal, o sea que va "a lo largo" del plano.

v · N ≠ 0                              →  se cortan en un punto
v · N = 0 y un punto de L en Π → la recta está contenida
v · N = 0 y ningún punto en Π  → paralelos, no se tocan

El ángulo entre dos planos se calcula con sus normales, no con direcciones de adentro: un plano tiene infinitas direcciones y el ángulo entre dos de ellas puede dar cualquier cosa.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Determinar la posición relativa de L : X = λ(1, 0, 1) + (0, 1, 0) y Π : 2x − y + z = 5, y hallar la intersección si existe.

Paso 1: comparar dirección con normal.

v = (1, 0, 1)      N = (2, −1, 1)
v · N = 2 + 0 + 1 = 3 ≠ 0

Como no da cero, la recta no es paralela: atraviesa el plano y lo corta en exactamente un punto. Ya sabemos la respuesta antes de calcular nada.

Hacer esta comprobación primero ahorra trabajo y evita conclusiones absurdas. Si v · N hubiera dado 0, la ecuación del paso siguiente habría salido sin solución o con infinitas, y sin el chequeo previo es fácil interpretar mal ese resultado.

Paso 2: el punto genérico de la recta.

X = (λ, 1, λ)

Paso 3: meterlo en la ecuación del plano.

2λ − 1 + λ = 5  →  3λ = 6  →  λ = 2

El coeficiente de λ dio 3, que es exactamente el v · N del paso 1. No es casualidad: siempre es así, y por eso v · N = 0 hace desaparecer λ de la ecuación.

Paso 4: el punto.

X = (2, 1, 2)

Control doble. Tiene que estar en los dos:

en L: con λ = 2, (2, 1, 2) ✔
en Π: 2·2 − 1 + 2 = 5 ✔

El del plano es el importante, porque es donde se hizo la cuenta.

Y uno del nivel del parcial

Sean L : X = λ(1, 0, 2) + (1, 1, 0) y Π′ : x + y − z = 3. a) Hallar la ecuación del plano Π que contiene a L y es perpendicular a Π′. b) Hallar la recta Π ∩ Π′.

a) Qué tiene que cumplir el normal N de Π. Dos condiciones, y las dos son de perpendicularidad:

Π contiene a L  ⟹  N ⊥ v = (1, 0, 2)
Π ⊥ Π′          ⟹  N ⊥ N′ = (1, 1, −1)
El que confunde acá pierde el ejercicio entero. Dos planos perpendiculares tienen normales perpendiculares, no paralelos: si N fuera paralelo a N′, Π sería paralelo a Π′. Y «perpendicular a dos vectores a la vez» es exactamente lo que da el producto vectorial.
N = v × N′ = (1, 0, 2) × (1, 1, −1) = (0·(−1) − 2·1,  2·1 − 1·(−1),  1·1 − 0·1) = (−2, 3, 1)

Control: N·v = −2 + 0 + 2 = 0 ✔ y N·N′ = −2 + 3 − 1 = 0 ✔.

Para el término independiente, un punto que seguro está en Π: el (1, 1, 0) de L.

d = (1, 1, 0)·(−2, 3, 1) = 1  →  Π : −2x + 3y + z = 1

Control de que L entera está adentro: el punto genérico de L es (1 + λ, 1, 2λ), y −2(1 + λ) + 3 + 2λ = 1 para todo λ ✔. La λ se cancela, que es lo que significa estar contenida.

b) La recta Π ∩ Π′. Su dirección es perpendicular a los dos normales, así que otra vez es un producto vectorial:

N × N′ = (−2, 3, 1) × (1, 1, −1) = (3·(−1) − 1·1,  1·1 − (−2)(−1),  (−2)·1 − 3·1) = (−4, −1, −5)

Tomamos (4, 1, 5), que es lo mismo con el signo cambiado. Falta un punto que cumpla las dos ecuaciones. Se fija una variable y se resuelven las otras dos; con x = 0:

3y + z = 1  y  y − z = 3  →  sumando, 4y = 4  →  y = 1, z = −2
Π ∩ Π′ : X = t(4, 1, 5) + (0, 1, −2)

Control: el punto genérico (4t, 1 + t, −2 + 5t) en Π da −8t + 3 + 3t − 2 + 5t = 1 ✔, y en Π′ da 4t + 1 + t + 2 − 5t = 3 ✔, los dos para todo t. Si se hubiera fijado z = 0 en vez de x = 0 saldría otro punto de paso (con fracciones), pero la misma recta.

Dónde se cae la mayoría

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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