Álgebra (27) · Unidad 1 — Vectores, rectas y planos

Producto vectorial y mixto

El producto vectorial devuelve un vector perpendicular a los dos. Su norma es un área, y combinado con un tercer vector da un volumen.

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La explicación

Producto vectorial (sólo en ℝ³)

v × w = (v₂w₃ − v₃w₂, v₃w₁ − v₁w₃, v₁w₂ − v₂w₁)

Para acordarse sin memorizar: para la coordenada i se tapan las coordenadas i de los dos vectores y se hace la diferencia cruzada de lo que queda. En la del medio, además, se cambia el signo.

v × w = −(w × v) no es conmutativo
v × v = 0
(k v) × w = k (v × w)
v × w es perpendicular a v y a w

La verificación que no se saltea

v = (1, 2, 3), w = (2, −1, 0)
v × w = (2·0 − 3·(−1), 3·2 − 1·0, 1·(−1) − 2·2) = (3, 6, −5)

Siempre, sin excepción:

(3,6,−5)·(1,2,3) = 3 + 12 − 15 = 0 ✔
(3,6,−5)·(2,−1,0) = 6 − 6 + 0 = 0 ✔

Los dos productos escalares tienen que dar cero. El único error que se comete acá es un signo, y esto lo caza siempre. Toma quince segundos.

Áreas

área del paralelogramo de lados v y w = ‖v × w‖
área del triángulo = ½ ‖v × w‖

El triángulo es la mitad: la diagonal lo parte en dos iguales. Ese ½ es lo que más se olvida cuando piden el área de un triángulo.

También vale ‖v × w‖ = ‖v‖·‖w‖·sen θ, que explica por qué da cero cuando son paralelos: el "paralelogramo" es un segmento y no tiene área.

Producto mixto y volumen

producto mixto: (u × v) · w da un número
volumen del paralelepípedo = |(u × v) · w|

Primero el vectorial (da un vector), después el escalar con el tercero (da un número). El orden no se puede invertir: (u · v) × w no tiene sentido, porque u · v es un número.

Las barras de módulo son obligatorias. El producto mixto puede dar negativo —el signo indica la orientación de la terna— pero un volumen nunca lo es.

Coplanaridad y alineación

(u × v) · w = 0 ⟺ u, v, w coplanares
(Q − P) × (R − P) = 0 ⟺ P, Q, R alineados

Los dos dicen lo mismo en distinta dimensión: volumen cero significa que la caja es chata, y área cero que el triángulo es un segmento. Es la forma estándar de verificar si cuatro puntos están en un mismo plano.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Decidir si P = (1,0,0), Q = (0,1,0), R = (0,0,1) y S = (1,1,1) son coplanares. Si no lo son, dar el volumen del paralelepípedo que determinan.

Paso 1: tres vectores desde un mismo punto. Tomamos P como base:

u = Q − P = (−1, 1, 0)
v = R − P = (−1, 0, 1)
w = S − P = (0, 1, 1)

Paso 2: el producto vectorial de los dos primeros.

1ª: 1·1 − 0·0 = 1
2ª: 0·(−1) − (−1)·1 = 1
3ª: (−1)·0 − 1·(−1) = 1

u × v = (1, 1, 1)

Control: (1,1,1)·u = −1 + 1 + 0 = 0 ✔ y (1,1,1)·v = −1 + 0 + 1 = 0 ✔.

Paso 3: el escalar con el tercero.

(u × v) · w = (1,1,1) · (0,1,1) = 2

Conclusión. Distinto de cero, así que no son coplanares, y el volumen es |2| = 2.

Las dos preguntas se responden con la misma cuenta. Si el producto mixto da cero, son coplanares y el volumen es cero; si no, ese número en módulo ya es el volumen. No hay que hacer nada distinto para cada una.

Verificación geométrica. Los tres primeros puntos están en el plano x + y + z = 1 (cada uno tiene un 1 y el resto ceros). Y S da 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 1: está afuera. Coincide con la cuenta ✔.

Si te hubiera dado volumen 0 pero S claramente fuera del plano, el error estaría en el producto vectorial — y por eso conviene hacer siempre el control del paso 2.

Y uno del nivel del parcial

Sean P = (1, 0, 2), Q = (3, 1, 1) y R = (2, 3, 4). a) Calcular el área del triángulo PQR. b) Calcular la altura del triángulo sobre el lado PQ. c) Hallar k ∈ ℝ para que S = (k, 1, 0) esté en el mismo plano que P, Q y R.

a) El área. Dos lados que salgan del mismo vértice, y su producto vectorial:

PQ = Q − P = (2, 1, −1) PR = R − P = (1, 3, 2)
PQ × PR = (1·2 − (−1)·3, (−1)·1 − 2·2, 2·3 − 1·1) = (5, −5, 5)

Control de perpendicularidad: (5, −5, 5)·(2, 1, −1) = 10 − 5 − 5 = 0 ✔ y (5, −5, 5)·(1, 3, 2) = 5 − 15 + 10 = 0 ✔.

‖PQ × PR‖ = √(25 + 25 + 25) = 5√3 → área = 5√3 / 2 ≈ 4,33

b) La altura sobre PQ. El área de un triángulo también es base por altura sobre dos. Con base PQ:

‖PQ‖ = √(4 + 1 + 1) = √6
h = 2·área / ‖PQ‖ = 5√3 / √6 = 5/√2 = 5√2 / 2 ≈ 3,54

Verificación por otro camino: la altura es una distancia. Es la distancia de R a la recta PQ, y se puede sacar proyectando PR sobre PQ (el tema 1.6):

(PR · PQ)/(PQ · PQ) = (2 + 3 − 2)/6 = 1/2
PR − ½·PQ = (1, 3, 2) − (1, 1/2, −1/2) = (0, 5/2, 5/2) → norma √(25/4 + 25/4) = 5/√2 ✔

Dos métodos que no comparten ninguna cuenta y dan lo mismo: la altura está bien.

c) El k para que S sea coplanar. Cuatro puntos están en un plano cuando los tres vectores que salen de uno de ellos arman una caja de volumen cero. Ya tenemos PQ × PR, así que falta un producto escalar:

PS = (k − 1, 1, −2)
(PQ × PR)·PS = 5(k − 1) − 5·1 + 5·(−2) = 5k − 20 = 0 → k = 4

Control con la ecuación del plano. El normal es (5, −5, 5), o más cómodo (1, −1, 1), y con P queda x − y + z = 3. Q da 3 − 1 + 1 = 3 ✔, R da 2 − 3 + 4 = 3 ✔ y S = (4, 1, 0) da 4 − 1 + 0 = 3 ✔. Los cuatro en el mismo plano.

Dónde se cae la mayoría

Olvidar el cambio de signo en la coordenada del medio del producto vectorial.
Dar el área de un triángulo sin dividir por 2.
Dar un volumen negativo. El producto mixto puede serlo, el volumen no.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Primer parcial — Un plano, dos rectas y una distancia25 puntos · resuelto paso a paso

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