Álgebra (27) · Unidad 1 — Vectores, rectas y planos
Producto escalar y ángulo
El producto escalar convierte una pregunta geométrica —qué ángulo forman— en una suma de productos. Y detecta perpendicularidad sin calcular nada.
La explicación
Definición
Coordenada a coordenada y se suma. El resultado no es un vector: es un escalar, y de ahí el nombre.
v · (w + z) = v·w + v·z
(k v) · w = k (v · w)
v · v = ‖v‖² > 0 si v ≠ 0
Esa última identidad —‖v‖² = v · v— es la que conecta longitudes con productos escalares, y es la que se usa en casi todas las demostraciones del tema: permite pasar de normas, que no se distribuyen, a productos, que sí.
Perpendicularidad
Y el vector nulo es perpendicular a todos, porque 0 · w = 0 siempre.
El ángulo
Se toma el menor de los dos ángulos, así que θ nunca pasa de 180°. Que el cociente caiga entre −1 y 1 lo garantiza Cauchy-Schwarz: |v · w| ≤ ‖v‖·‖w‖.
El signo ya dice bastante
v · w = 0 → θ = 90°
v · w < 0 → θ > 90°, ángulo obtuso
Muchos ejercicios que parecen pedir un ángulo se contestan mirando el signo. Y cuando sí hay que calcularlo, el signo sirve de control: si v · w salió negativo y tu θ dio menos de 90°, hay un error.
Ángulos que conviene reconocer
cos θ = 1/2 → 60° cos θ = 0 → 90°
cos θ = −1 → 180°
Si el coseno te da 1/2, √2/2 o √3/2, el ejercicio estaba armado para dar exacto: contestá en grados o en radianes, no con un decimal.
Sean v = (2, 1, −1) y w = (1, k, 3). Hallar k para que sean perpendiculares, y con ese valor calcular el ángulo entre v y (1, 1, 0).
Perpendicularidad = producto escalar cero. Se plantea la ecuación:
Ahora el ángulo con u = (1, 1, 0).
‖v‖ = √(4 + 1 + 1) = √6 ‖u‖ = √2
Salió un ángulo redondo, que es la señal de que la cuenta está bien: √12 = 2√3 y 3/(2√3) = √3/2 racionalizando.
Controles. v · u dio positivo, así que el ángulo tiene que ser agudo — y 30° lo es ✔. Y el coseno quedó entre −1 y 1 ✔, como obliga Cauchy-Schwarz. Si un arcocoseno te pide el coseno de un número fuera de ese rango, el error está en las normas.
De dos vectores u, v ∈ ℝ³ se sabe que ‖u‖ = 2, ‖v‖ = 3 y ‖u + v‖ = √7. a) Calcular u · v y el ángulo entre u y v. b) Calcular ‖2u − v‖. c) Hallar t ∈ ℝ para que u + t·v sea ortogonal a u.
No hay coordenadas: todo tiene que salir de la identidad ‖w‖² = w · w, que convierte normas (que no se distribuyen) en productos escalares (que sí).
a) El producto escalar. Se desarrolla la norma de la suma:
7 = 4 + 2 u·v + 9 → u · v = −3
El signo negativo ya avisaba que el ángulo es obtuso. Y tiene sentido geométrico: ‖u + v‖ = √7 ≈ 2,65 es menor que ‖v‖ = 3, así que al sumarle u a v se acortó. Eso sólo pasa si u apunta, en parte, en contra de v.
b) La norma de 2u − v. Mismo truco, con cuidado en los coeficientes:
c) El t. Ortogonal es producto escalar cero, y el producto escalar se distribuye:
Verificación con vectores concretos. Los datos no fijan u y v, pero cualquier par que los cumpla tiene que dar lo mismo. En el plano z = 0 sirven u = (2, 0, 0) y v = (−3/2, 3√3/2, 0): ‖v‖² = 9/4 + 27/4 = 9 ✔ y u + v = (1/2, 3√3/2, 0), con norma al cuadrado 1/4 + 27/4 = 7 ✔. Entonces 2u − v = (11/2, −3√3/2, 0), cuya norma al cuadrado es 121/4 + 27/4 = 37 ✔, y u + (4/3)v = (0, 2√3, 0), que es perpendicular a u ✔.
Dónde se cae la mayoría
- Decir que el producto escalar da un vector. Da un número.
- Olvidar dividir por las normas y tomar el producto escalar como si fuera el coseno.
- Usar ‖v + w‖ = ‖v‖ + ‖w‖. Sólo vale la desigualdad.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Producto escalar y ángulo →Los otros temas de la unidad 1
Vectores, rectas y planos