Álgebra (27) · Unidad 1 — Vectores, rectas y planos

Rectas

Una recta queda determinada por un punto y una dirección. Hay dos maneras de escribirla y cada una sirve para preguntas distintas.

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La explicación

Ecuación paramétrica

L : X = λ·v + P (λ ∈ ℝ)

Se lee: partir de P y caminar en la dirección de v. Cada λ da un punto. El vector v es el vector director.

L : (x, y) = λ(3, −1) + (1, 2)
λ = 0 → (1, 2) λ = 1 → (4, 1) λ = −1 → (−2, 3)

Ni P ni v son únicos. Cualquier punto de la recta sirve como P, y cualquier múltiplo no nulo de v sirve como director. Por eso dos escrituras que parecen distintas pueden ser la misma recta, y por eso los ejercicios de "¿son la misma?" son tan frecuentes. Esta forma funciona igual en ℝ², ℝ³ o ℝⁿ.

Ecuación implícita en ℝ²

L : a x + b y = c

El vector N = (a, b) es perpendicular a la recta: es el normal. Con director v = (v₁, v₂), un normal es N = (v₂, −v₁) — se dan vuelta las coordenadas y se le cambia el signo a una.

v = (3, −1) → N = (−1, −3) control: N · v = −3 + 3 = 0 ✔
pasa por (1, 2): c = −1 − 6 = −7
L : x + 3y = 7

De implícita a paramétrica

Al revés es igual de directo: de a x + b y = c se lee N = (a, b), y un director es v = (b, −a). Para el punto, se le da un valor cómodo a una variable y se despeja la otra.

L : 2x + y = 4 → v = (1, −2)
con x = 0: y = 4 → P = (0, 4)
L : X = λ(1, −2) + (0, 4)

Rectas en ℝ³

La paramétrica es idéntica con tres coordenadas. Lo que no existe en ℝ³ es una sola ecuación implícita: a x + b y + c z = d es un plano, no una recta.

Para dar una recta de ℝ³ en implícita hacen falta dos ecuaciones: la recta es la intersección de dos planos. Escribir una sola y llamarla recta es un error conceptual, no de cuenta.

Posiciones relativas

directores paralelos + un punto común → coincidentes
directores paralelos, sin punto común → paralelas
directores no paralelos, se cortan → incidentes
directores no paralelos, no se cortan → alabeadas (sólo en ℝ³)

Las alabeadas son el caso que no existe en el plano y el que más se olvida: dos rectas de ℝ³ con direcciones distintas no tienen por qué cortarse. Para buscar la intersección se igualan las paramétricas, usando parámetros con nombres distintos — con el mismo λ en las dos se pierden soluciones.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Hallar la ecuación implícita de la recta por A = (2, 1) y B = (5, 3), y decidir si C = (8, 5) pertenece a ella.

Paso 1: el director. Con dos puntos, es el vector que va de uno al otro:

v = B − A = (3, 2)

Paso 2: el normal. Se dan vuelta las coordenadas y se cambia un signo:

N = (2, −3) control: N · v = 6 − 6 = 0 ✔

Ese control descarta el error más típico, que es olvidar el cambio de signo.

Paso 3: la implícita. Con N = (2, −3) la ecuación es 2x − 3y = c, y c sale reemplazando un punto:

con A: c = 4 − 3 = 1 → L : 2x − 3y = 1

Control con el otro punto: con B, 10 − 9 = 1 ✔. Siempre conviene verificar con el punto que no se usó para hallar c.

Paso 4: ¿está C?

2·8 − 3·5 = 16 − 15 = 1 ✔ → sí pertenece

Para qué sirve cada forma. Con la implícita, decidir si un punto pertenece es reemplazar y comparar: un renglón. Con la paramétrica habría que resolver 8 = 3λ + 2 y 5 = 2λ + 1 y verificar que el mismo λ sirva en las dos. Elegí la forma según lo que te pidan, y si hace falta, pasá de una a la otra.

Y uno del nivel del parcial

Sean L₁ : X = λ(1, 2, −1) + (0, 1, 3) y L₂ : X = μ(2, 1, 1) + (4, 6, 2). a) Decidir si se cortan y, en ese caso, hallar el punto de intersección. b) Hallar una recta que pase por ese punto y sea perpendicular a L₁ y a L₂. c) ¿Qué pasaría si L₂ pasara por (4, 6, 3) en lugar de (4, 6, 2)?

a) Primero las direcciones. (1, 2, −1) y (2, 1, 1) no son proporcionales (la razón da 2 en la primera coordenada y 1/2 en la segunda), así que las rectas no son paralelas: o se cortan, o son alabeadas. Para saberlo se igualan las paramétricas con parámetros distintos:

(λ, 1 + 2λ, 3 − λ) = (4 + 2μ, 6 + μ, 2 + μ)

λ − 2μ = 4
2λ − μ = 5
−λ − μ = −1

Son tres ecuaciones con dos incógnitas. Con las dos primeras: de la primera λ = 4 + 2μ, y en la segunda 8 + 4μ − μ = 5, o sea μ = −1 y λ = 2. La tercera es la que decide: −2 − (−1) = −1 ✔. Se cumple, así que las rectas se cortan.

en L₁ con λ = 2: (2, 5, 1) en L₂ con μ = −1: (4 − 2, 6 − 1, 2 − 1) = (2, 5, 1) ✔

El punto de intersección es (2, 5, 1). Calcularlo con las dos rectas es el control: si dieran puntos distintos, habría un error en λ o en μ.

Por qué hay que usar la tercera ecuación. Con dos ecuaciones y dos incógnitas casi siempre sale una solución, se corten o no las rectas. Lo que distingue «se cortan» de «alabeadas» es si esa solución cumple también la ecuación que sobra. Quien resuelve con dos y no mira la tercera, encuentra intersecciones que no existen.

b) La perpendicular a las dos. Un director perpendicular a (1, 2, −1) y a (2, 1, 1) es su producto vectorial:

(1, 2, −1) × (2, 1, 1) = (2·1 − (−1)·1, (−1)·2 − 1·1, 1·1 − 2·2) = (3, −3, −3)

Cualquier múltiplo sirve, y (1, −1, −1) es más cómodo. Control: (1, −1, −1)·(1, 2, −1) = 1 − 2 + 1 = 0 ✔ y (1, −1, −1)·(2, 1, 1) = 2 − 1 − 1 = 0 ✔.

L : X = t(1, −1, −1) + (2, 5, 1)

c) Con L₂ corrida. La tercera ecuación pasa a ser 3 − λ = 3 + μ, o sea −λ − μ = 0. Las dos primeras no cambiaron, así que siguen dando λ = 2 y μ = −1, y ahora −2 + 1 = −1 ≠ 0. No hay intersección, y como las direcciones no son paralelas, las rectas serían alabeadas. Un cambio de una unidad en una coordenada alcanza para que dos rectas del espacio dejen de tocarse, cosa que en el plano no puede pasar.

Dónde se cae la mayoría

Escribir una recta de ℝ³ con una sola ecuación implícita. Esa ecuación es un plano.
Confundir director con normal. En ax + by = c el normal es (a, b), el director (b, −a).
Usar el mismo parámetro para las dos rectas al buscar la intersección.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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