Álgebra (27) · Unidad 1 — Vectores, rectas y planos
Vectores y operaciones
Un vector es a la vez una flecha y una lista de números. Todo lo de esta unidad sale de poder saltar de una lectura a la otra.
La explicación
Las dos lecturas
Geométricamente un vector es una flecha: queda determinado por su dirección, su sentido y su longitud. Algebraicamente es una lista de coordenadas.
Se conviene poner todos los vectores con origen en O, y entonces el punto P y la flecha OP son la misma cosa.
Suma y producto por un escalar
k · P = (k p₁, k p₂, …)
P − Q = P + (−1)Q
La suma es la regla del paralelogramo. Multiplicar por k estira si |k| > 1, achica si |k| < 1, y da vuelta el sentido si k < 0. La dirección nunca cambia.
El vector que va de un punto a otro
Paralelismo
Se chequea viendo si las coordenadas son proporcionales, y la razón tiene que ser la misma en todas. Que coincida en dos no alcanza.
(1, 2, 3) y (2, 4, 5) → 2, 2 y 5/3 → no
Norma
Es la longitud, y es Pitágoras aplicado a las coordenadas. Propiedades:
‖k·v‖ = |k|·‖v‖ con el módulo de k
‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖ desigualdad triangular
El |k| no es decoración: ‖−3v‖ = 3‖v‖, porque una longitud no puede ser negativa.
Distancia y versores
v̂ = v / ‖v‖ tiene norma 1 y la misma dirección y sentido
Normalizar es dividir por la propia longitud. Sirve cuando interesa la dirección y no el tamaño. Control: la suma de los cuadrados de las coordenadas de un versor da exactamente 1.
Dados A = (1, −1, 2) y B = (3, 2, 2), hallar AB, la distancia d(A, B), el punto medio, y el versor en la dirección de AB.
El vector. Llegada menos salida:
Ojo con la segunda coordenada: 2 − (−1) = 3. Restar un negativo suma.
La distancia.
El punto medio es el promedio de los dos puntos:
Otra forma de verlo, que explica por qué: salís de A y avanzás media flecha, M = A + ½·AB⃗ = (1,−1,2) + (1, 3/2, 0) = (2, 1/2, 2). Da lo mismo. ✔
El versor. Se divide cada coordenada por la norma:
Verificación, con el cuadrado para evitar la raíz:
Si esa suma no da exactamente 1, la normalización está mal. Es el control más barato del tema.
Sean A = (2, −1, 3) y B = (8, 2, −3). a) Hallar los dos puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales. b) Hallar todos los k ∈ ℝ para los que C = (k, 1, k − 1) está a distancia √14 de A. c) Hallar el vector de longitud 6 paralelo a AB y de sentido contrario.
a) Los puntos de tercio. Todo sale del vector que va de A a B:
Se sale de A y se avanza un tercio de la flecha, y después dos tercios:
P₂ = A + ⅔·AB⃗ = (2, −1, 3) + (4, 2, −4) = (6, 1, −1)
Control: un tercio más desde P₂ tiene que caer en B, y cae: (6, 1, −1) + (2, 1, −2) = (8, 2, −3) ✔. Y P₁ es el punto medio entre A y P₂: ((2 + 6)/2, (−1 + 1)/2, (3 − 1)/2) = (4, 0, 1) ✔.
b) Los C a distancia √14. Se escribe la distancia en función de k y se pide que valga √14. Para no arrastrar la raíz, se igualan los cuadrados:
d(A, C)² = (k − 2)² + 4 + (k − 4)² = 2k² − 12k + 24
Los puntos son C = (1, 1, 0) y C = (5, 1, 4). Control con los dos: (1, 1, 0) − A = (−1, 2, −3), y 1 + 4 + 9 = 14 ✔; (5, 1, 4) − A = (3, 2, 1), y 9 + 4 + 1 = 14 ✔.
Que salgan dos no es casualidad. Al variar k, C recorre una recta —C = (0, 1, −1) + k(1, 0, 1)— y los puntos a distancia √14 de A forman una esfera. Una recta que atraviesa una esfera la corta en dos puntos; si la ecuación hubiera dado discriminante negativo, la recta pasaría de largo.
c) El vector de longitud 6. Primero la longitud de AB y el versor:
Sentido contrario es multiplicar por un número negativo, y longitud 6 es que ese número sea −6:
Control: ‖(−4, −2, 4)‖ = √(16 + 4 + 16) = 6 ✔, y (−4, −2, 4) = −⅔·AB⃗, un múltiplo con factor negativo ✔.
Dónde se cae la mayoría
- Calcular AB como A − B. Es B − A: llegada menos salida.
- Escribir ‖k·v‖ = k·‖v‖ sin el módulo. Con k negativo daría una longitud negativa.
- Declarar dos vectores paralelos porque la proporción coincide en algunas coordenadas.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
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Vectores, rectas y planos