Álgebra (71) del CBC, tema por tema

Álgebra (71) es la de Ciencias Económicas: la cursan Contador Público, Administración, Economía, Actuario, Sistemas de Información de las Organizaciones, Economía y Administración Agrarias y la Tecnicatura en Gestión y Análisis de Datos. No es la misma materia que Álgebra A (62) ni que Álgebra (27), aunque compartan el nombre: acá la geometría es sin distancias ni ángulos, y el cuatrimestre termina en lo que más se usa después en la carrera, que es decidir cuánto producir de cada cosa para ganar lo máximo o gastar lo mínimo.

Abajo está el programa entero, en el orden de las prácticas: rectas y planos, con la recta de presupuesto y el punto de equilibrio; sistemas de ecuaciones lineales; espacios vectoriales; matrices y determinantes, con el modelo de insumo-producto; programación lineal en el plano, con la región factible y las rectas de nivel, y el algoritmo simplex, con el problema dual. Cada tema tiene su página con la explicación completa, un ejemplo resuelto paso a paso y los errores típicos, y de ahí se pasa a practicar con corrección en cada paso.

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Unidad 1 — Rectas y planos en ℝ² y ℝ³

1.1 Puntos y vectores del planoUn punto del plano es un par ordenado (x, y), y con los puntos se opera coordenada a coordenada: se suman, se restan y se multiplican por un número. Dos puntos son iguales sólo si…
1.2 Rectas del plano: paramétrica, implícita y pendienteUna recta se puede escribir de tres maneras: la paramétrica X = λ·v + P (una dirección y un punto de paso), la implícita ax + by = c y la explícita y = mx + b. Se pasa de una a…
1.3 Paralelas, intersección y posiciones relativasDos rectas del plano son paralelas si tienen la misma pendiente (o direcciones múltiplos una de la otra). Si no son paralelas se cortan en un solo punto, que sale de resolver el…
1.4 Modelos lineales: costos, ganancias y punto de equilibrioCuando algo crece de a un monto fijo por unidad, es una recta: la pendiente es lo que se paga (o se gana) por cada unidad y la ordenada al origen es lo fijo. El punto de…
1.5 Puntos, vectores y rectas en ℝ³En ℝ³ los puntos tienen tres coordenadas, x₁, x₂ y x₃, y se opera igual que en el plano. Una recta es X = λ·v + P, como antes; lo nuevo es que dos rectas pueden no ser paralelas y…
1.6 Planos en ℝ³: paramétrica e implícitaUn plano de ℝ³ queda fijado por tres puntos no alineados. Su paramétrica usa dos direcciones y un punto, X = α·u + β·v + P, y su implícita es una sola ecuación ax₁ + bx₂ + cx₃ =…
1.7 Intersecciones en ℝ³Dos planos que no son paralelos se cortan en una recta, y por eso una recta de ℝ³ se puede dar como un sistema de dos ecuaciones. Una recta y un plano se cortan en un punto, o la…
1.8 Ecuación presupuestaria: recta y plano balanceSi se gasta exactamente un presupuesto M en productos de precios fijos, las compras posibles cumplen p₁x + p₂y = M con x, y ≥ 0: un segmento de recta, la recta balance. Sus cortes…

Unidad 2 — Sistemas de ecuaciones lineales

2.1 Soluciones de un sistema y sistemas escalonadosUna solución de un sistema es un punto que cumple todas las ecuaciones a la vez. Si el sistema está escalonado se resuelve de abajo hacia arriba; las incógnitas que no encabezan…
2.2 Método de Gauss, rango y clasificaciónEl método de Gauss usa tres operaciones que no cambian las soluciones para llevar la matriz ampliada a una escalera. El rango cuenta las filas que no se anularon en esa escalera…
2.3 Sistemas con una condición másPedirle una condición más a las soluciones de un sistema es agregarle una ecuación. Así se buscan las soluciones con x₂ = 0, los puntos de una recta que resuelven un sistema…
2.4 Problemas: mezclas, producción y soluciones enterasEn un problema de producción se nombra una incógnita por producto y se escribe una ecuación por insumo: lo que usa cada producto por lo que se fabrica, sumado, tiene que dar el…
2.5 Clasificar según un parámetroCon un parámetro k en el sistema, se triangula como si k fuera un número, con cuidado de no dividir por algo que pueda valer 0. Al final la última fila queda ( 0 0 f(k) | g(k) )…
2.6 Parámetros desde condiciones: una solución conocida, compatibilidad, soluciones en comúnCuando un sistema tiene letras y se sabe algo de sus soluciones, ese dato es una ecuación para las letras. Una solución conocida se reemplaza; la compatibilidad se pide mirando la…

Unidad 3 — Espacios vectoriales

3.1 Espacios vectoriales y combinaciones linealesUn espacio vectorial es un conjunto donde se puede sumar y multiplicar por números con las reglas de siempre. Preguntar si un vector es combinación lineal de otros es preguntar si…
3.2 Subespacios: generados y dados por ecuacionesUn subespacio es un pedazo del espacio del que no se sale sumando ni multiplicando por números. Aparece de dos maneras: como todas las combinaciones de unos generadores, ⟨v₁, v₂⟩…
3.3 Generadores e independencia linealUnos vectores generan ℝⁿ si con ellos se arma cualquier vector; son linealmente independientes si ninguno sobra, o sea si la única combinación que da 0 es la de todos los…
3.4 Bases y dimensiónUna base es un conjunto de generadores sin nada de más: genera y es linealmente independiente. Dos bases de S siempre traen tantos vectores una como la otra, y esa cantidad es la…
3.5 Extender a una base y bases con condicionesExtender un conjunto l.i. es agregarle vectores hasta tener una base, sin que se vuelva dependiente; si el conjunto ya es dependiente, no se puede. Con la dimensión a la vista…

Unidad 4 — Matrices, determinantes e insumo-producto

4.1 Matrices: término general, tipos, suma y traspuestaUna matriz es una tabla de números donde cada uno tiene su dirección: a_ij está en la fila i y la columna j. Se suman y se multiplican por un número lugar por lugar, y la…
4.2 Producto de matrices y la forma A·x = bEl lugar (i, j) de A·B sale de la fila i de A por la columna j de B: se multiplican término a término y se suman. Sólo existe si las columnas de A son tantas como las filas de B…
4.3 Las matrices como espacio vectorialℝᵐˣⁿ es un espacio vectorial como ℝⁿ: una matriz de 2×2 es, para estas cuentas, un vector de cuatro números. Combinaciones lineales, independencia, bases y dimensión se deciden…
4.4 Matrices como modelo: tablas, encuestas y grafosUna tabla de datos es una matriz, y las cuentas que se hacen con ella son productos: multiplicar por una columna de unos suma cada fila, por una fila de unos suma cada columna, y…
4.5 Matriz inversaLa inversa de A es la matriz A⁻¹ que cumple A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Se calcula triangulando [A | I] hasta que a la izquierda quede la identidad: lo que queda a la derecha es A⁻¹. Si a…
4.6 Determinantes: cálculo y desarrollo por una fila o columnaEl determinante es un número que se le asigna a una matriz cuadrada. En 2×2 es ad − bc; en las más grandes se calcula desarrollando por una fila o una columna, con menores y…
4.7 Propiedades del determinante e inversibilidadEl determinante del producto es el producto de los determinantes, y el de la traspuesta es el mismo; pero el de una suma no es la suma. La propiedad que más se usa: A es…
4.8 El determinante y los sistemas con parámetroUn sistema cuadrado A·x = b tiene solución única si y sólo si det A ≠ 0. Con un parámetro, se calcula el determinante, se ven los valores que lo anulan, y sólo para esos se…
4.9 El modelo de insumo-productoEn una economía de rubros que se compran entre sí, cada rubro produce para los otros rubros (la demanda interna, C·X) y para afuera (la demanda externa, D). Lo producido tiene que…
4.10 Economías productivasUna economía es productiva si puede satisfacer cualquier demanda externa con una producción no negativa, y eso pasa exactamente cuando (I − C)⁻¹ tiene todos sus coeficientes…

Unidad 5 — Programación lineal en ℝ²

5.1 Desigualdades e inecuaciones en ℝCon una desigualdad se puede hacer casi todo lo que se hace con una igualdad, salvo una cosa: multiplicar o dividir por un número negativo da vuelta el sentido. Un producto es…
5.2 Semiplanos, regiones y puntos esquinaUna desigualdad en x e y parte el plano en dos por una recta, y se queda con uno de los lados: para saber cuál, se prueba un punto. Un sistema de desigualdades es la región que…
5.3 Regiones con condiciones y puntos enterosUna región se puede armar al revés, desde sus vértices: cada lado es una recta, y el sentido de la desigualdad lo decide el vértice que queda enfrente. Cuando aparece un…
5.4 Función objetivo y curvas de nivel: máximo y mínimoLas curvas de nivel de z = ax + by son rectas paralelas, y al correrlas en un sentido z crece. Si la región es un polígono, el máximo y el mínimo están en vértices: alcanza con…
5.5 Problemas de programación linealUn problema de programación lineal se resuelve en tres movimientos: traducir el enunciado a variables, restricciones y función objetivo; hallar los vértices de la región y…
5.6 Parámetros en la función objetivo y en la regiónCuando cambian los precios, cambia la inclinación de las curvas de nivel y el óptimo salta de un vértice a otro; justo en el cambio, las curvas son paralelas a un lado y el óptimo…

Unidad 6 — Algoritmo simplex

6.1 El problema estándar de maximización y la tabla inicialEl simplex resuelve problemas de máximo con restricciones «≤», términos independientes no negativos y variables no negativas. Se agrega una holgura por restricción —lo que le…
6.2 Leer una tabla simplexEn una tabla simplex las básicas son las columnas de la identidad y valen el b de la fila donde tienen su 1; las demás valen 0. La esquina «z − v» dice que z = v, y la tabla es…
6.3 Pivotear hasta la tabla finalEntra la columna del mayor indicador positivo; sale la fila del menor cociente b/a entre los coeficientes positivos de esa columna. Se divide la fila por el pivote, se hacen ceros…
6.4 Cuando no hay máximo o hay más de unoSi un indicador es positivo y su columna no tiene ningún coeficiente positivo, no hay pivote: z crece sin tope y no tiene máximo. Si en la tabla final una variable no básica tiene…
6.5 Problemas de maximización y cambio de variablesUn problema con tres o más variables se plantea igual que en el plano —variables con su unidad, una restricción por recurso o condición, la función objetivo— y se resuelve con la…
6.6 Minimizar con el simplexEn una región estándar (restricciones «≤» con término ≥ 0 y variables ≥ 0), minimizar f es maximizar −f: se arma la tabla con los coeficientes de −f, se resuelve el máximo, y el…
6.7 El problema dualEl dual de maximizar c·x con A·x ≤ b y x ≥ 0 es minimizar b·w con Aᵗ·w ≥ c y w ≥ 0: una variable por restricción, una restricción por variable. Los dos tienen el mismo valor…
6.8 Minimizar con el dual: problemas de costo mínimoUn mínimo con restricciones «≥» (cubrir al menos tanto de cada cosa al menor costo) no es estándar, pero su dual sí: es un máximo con «≤». Se resuelve el dual por simplex y la…

Parciales modelo, resueltos

Están escritos por nosotros con el temario y el formato de los que se toman. Los podés leer resueltos, o rendirlos sin corrección hasta entregarlos, como el de verdad.

Primer parcial resuelto paso a paso4 ejercicios · 20 preguntas · 120 minutos · se aprueba con 60
Segundo parcial resuelto paso a paso4 ejercicios · 23 preguntas · 120 minutos · se aprueba con 60

Los parciales resueltos de todas las materias