Álgebra (71) · Unidad 4 — Matrices, determinantes e insumo-producto

Determinantes: cálculo y desarrollo por una fila o columna

El determinante es un número que se le asigna a una matriz cuadrada. En 2×2 es ad − bc; en las más grandes se calcula desarrollando por una fila o una columna, con menores y signos alternados, y conviene elegir la que tiene más ceros. En una triangular es el producto de la diagonal.

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La explicación

El de 2×2

det (a b ; c d) = a·d − b·c

Diagonal principal menos la otra. Por ejemplo, det (3 −2 ; 4 1) = 3 + 8 = 11. Se escribe det(A) o |A|, y es un número, no una matriz.

Menores y cofactores

El menor M_ij de A es la matriz que queda al tachar la fila i y la columna j. El cofactor es su determinante con un signo: A_ij = (−1)^i+j·|M_ij|. Los signos siguen un tablero de ajedrez, empezando por + arriba a la izquierda:

+ − +
− + −
+ − +

El desarrollo por una fila o una columna

El determinante es la suma de cada número de una fila (o columna) por su cofactor. Por la primera fila de una de 3×3:

det A = a₁₁·|M₁₁| − a₁₂·|M₁₂| + a₁₃·|M₁₃|

Con A de filas (1, 2, 0), (3, −1, 2), (0, 1, 4): det A = 1·(−4 − 2) − 2·(12 − 0) + 0 = −6 − 24 = −30.

Da lo mismo cualquier fila o columna, así que conviene la que tiene más ceros: cada 0 es un menor que no hay que calcular. En una de 4×4 con una fila que tiene un solo número distinto de 0, el determinante es ese número, con su signo, por un determinante de 3×3. Así se bajan 4×4 y 5×5 a cuentas chicas.

1. Buscá la fila o columna con más ceros.
2. Para cada número distinto de 0 de esa línea, tachá su fila y su columna: el menor.
3. Multiplicá el número por el determinante del menor y por el signo del tablero.
4. Sumá. Si el menor sigue siendo grande, repetí dentro de él.

Los signos en una de 4×4, y un desarrollo por columna

El tablero sigue igual en cualquier tamaño: el lugar (i, j) lleva + si i + j es par y − si es impar. En una de 4×4:

+ − + −
− + − +
+ − + −
− + − +

Si una de 4×4 tiene la columna 3 igual a (0, 5, 0, 0), el 5 está en el lugar (2, 3): 2 + 3 = 5 es impar, así que el determinante es −5 por el del menor que queda al tachar la fila 2 y la columna 3. Olvidarse ese − es el error más común del tema: el número sale bien y el signo al revés.

Desarrollar por una columna es igual que por una fila. Con A de filas (2, 1, 0), (−1, 3, 0) y (4, 5, 1), la tercera columna es (0, 0, 1): queda sólo el 1 del lugar (3, 3), con signo +, y det A = 1·det (2 1 ; −1 3) = 6 + 1 = 7.

Sarrus, sólo para 3×3

Para una de 3×3 también sirve la regla de Sarrus: los tres productos de las diagonales que bajan de izquierda a derecha, menos los tres de las que suben. Es un buen control del desarrollo, pero no sirve para 4×4.

Triangulares

Si A es triangular (o diagonal), det A es el producto de la diagonal: desarrollando por la primera columna, cada paso deja un solo término. En particular det I = 1. Una matriz con una fila o una columna de ceros tiene determinante 0.

Un determinante que contiene a otro

Si se sabe que det (a 4 ; b 1) = 3 y se pide el de una de 3×3 que tiene a, b, 4 y 1 en esos lugares y una columna con un solo número, se desarrolla por esa columna: aparece el de 2×2 tal cual, multiplicado por el número y su signo.

El control que conviene hacer siempre

Calculá el mismo determinante por otra fila o columna (o por Sarrus, si es de 3×3): tiene que dar lo mismo. Si no da, lo más probable es un signo del tablero mal puesto.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Calcular el determinante de la matriz A de filas (2, 0, 1), (1, 3, −1) y (−1, 0, 4) desarrollando por la columna más conveniente, y controlarlo por la primera fila.

La columna 2 tiene dos ceros: (0, 3, 0). Sólo queda el término del 3, que está en el lugar (2, 2), con signo +:

det A = 3·det (2 1 ; −1 4)
= 3·(8 + 1) = 27

Control por la primera fila: (2, 0, 1), con signos + − +.

2·det (3 −1 ; 0 4) − 0 + 1·det (1 3 ; −1 0)
= 2·12 + 1·(0 + 3) = 24 + 3 = 27 ✔

Por Sarrus: 2·3·4 + 0 + 1·1·0 − (1·3·(−1) + 2·(−1)·0 + 0) = 24 + 3 = 27 ✔.

Dónde se pierde el punto: tachar la fila 2 y la columna 2 bien, pero poner el signo del lugar (2, 1). Con el tablero a la vista, el (2, 2) va con +.

Y uno del nivel del parcial

a) Calcular el determinante de la matriz de 4×4 de filas (1, 0, 2, 0), (3, 2, −1, 4), (0, 0, 5, 0) y (2, 0, 1, 1). b) Sabiendo que det (a 2 ; b 1) = 4, calcular el determinante de la matriz de filas (2, −1, 4), (0, a, 2) y (0, b, 1).

a) La columna 2 es (0, 2, 0, 0): un solo número. El 2 está en el lugar (2, 2), signo +. Tacho fila 2 y columna 2:

det = 2·det ( 1 2 0 ; 0 5 0 ; 2 1 1 )

Ese de 3×3 tiene la tercera columna (0, 0, 1): desarrollo por ella, el 1 está en el (3, 3), signo +.

det ( 1 2 0 ; 0 5 0 ; 2 1 1 ) = 1·det (1 2 ; 0 5) = 5

Entonces el de 4×4 vale 2·5 = 10. (También se podía empezar por la fila 3, que tiene un solo 5.)

b) La primera columna es (2, 0, 0). Desarrollando por ella, sólo queda el 2 del lugar (1, 1), signo +, por el menor que resulta de tachar fila 1 y columna 1:

det = 2·det (a 2 ; b 1) = 2·4 = 8

No hace falta saber a ni b: el de 2×2 aparece entero.

Control de a): por la fila 3 (0, 0, 5, 0), el 5 está en el (3, 3), signo +: 5·det (1 0 0 ; 3 2 4 ; 2 0 1) = 5·(1·(2 − 0)) = 10 ✔.

Dónde se pierde el punto: en a), desarrollar por la primera fila, que tiene dos números distintos de 0: son dos determinantes de 3×3 en lugar de uno, y el doble de oportunidades de errar un signo.

Dónde se cae la mayoría

Sumar ad + bc en el de 2×2: es ad menos bc.
Olvidarse del signo alternado al desarrollar: el segundo número de la primera fila va con −.
Tomar el menor tachando la fila y la columna equivocadas.
Usar Sarrus en una de 4×4: sólo vale para 3×3.
En una triangular, sumar la diagonal en vez de multiplicarla.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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