Álgebra (71) · Unidad 4 — Matrices, determinantes e insumo-producto

Economías productivas

Una economía es productiva si puede satisfacer cualquier demanda externa con una producción no negativa, y eso pasa exactamente cuando (I − C)⁻¹ tiene todos sus coeficientes mayores o iguales a 0. Para no calcular la inversa hay dos condiciones suficientes: que todas las filas de C sumen menos de 1, o que todas las columnas sumen menos de 1.

La explicación

Qué quiere decir productiva

En el tema anterior, dada D se buscaba X con (I − C)·X = D. Pero una producción tiene que ser no negativa: no se puede producir −50 pesos. Una economía es productiva si para cualquier demanda externa D ≥ 0 la producción que la satisface es X ≥ 0.

Si I − C es inversible, X = (I − C)⁻¹·D. Si todos los coeficientes de (I − C)⁻¹ son ≥ 0, multiplicar por una D ≥ 0 da siempre X ≥ 0. Por eso:

Dos condiciones suficientes

Alcanza con que se cumpla una de las dos. Qué significan: la columna j suma lo que el rubro j gasta en insumos por cada peso que produce; si es menos de 1, cada rubro gasta menos de lo que produce y le queda algo para afuera. La fila i, con X = (1, 1, …), suma lo que los rubros le piden al rubro i cuando cada uno produce un peso; si es menos de 1, le sobra.

Con C = (0,5 0,6 ; 0,3 0,1), las filas suman 1,1 y 0,4 (la primera falla), pero las columnas suman 0,8 y 0,7: es productiva por columnas. Es el caso del dibujo.

Cuando no alcanza

Si hay alguna fila que suma 1 o más y alguna columna que suma 1 o más, las condiciones no dicen nada: ni que sí ni que no. Hay que calcular (I − C)⁻¹ y mirar los signos.

Con C = (0,6 0,5 ; 0,5 0,2), la primera fila y la primera columna suman 1,1. I − C = (0,4 −0,5 ; −0,5 0,8), con determinante 0,32 − 0,25 = 0,07, y

Todos positivos: es productiva, aunque las condiciones no lo dijeran.

Para 2×2 el atajo sirve: (I − C)⁻¹ es (d −b ; −c a) dividido por el determinante, y como los de afuera de I − C ya son negativos, sus opuestos quedan positivos. Así, en 2×2 la economía es productiva si y sólo si det(I − C) > 0 (con los números de la diagonal de I − C positivos, como pasa siempre en estos ejercicios).

La que no es productiva

Si algún coeficiente de (I − C)⁻¹ es negativo, hay demandas D ≥ 0 que obligarían a producir una cantidad negativa de algún rubro: esa demanda no se puede satisfacer. Es la forma de mostrar que no es productiva.

El control que conviene hacer siempre

Sumá filas y columnas con cuidado (un error de una décima cambia la conclusión), y si calculaste la inversa, multiplicala por I − C en un lugar: tiene que dar 1 en la diagonal.

Dónde se cae la mayoría

• Creer que hacen falta las dos condiciones a la vez: con que todas las filas sumen menos de 1, o todas las columnas, alcanza.
• Concluir «no es productiva» porque no se cumple ninguna condición suficiente: sólo quiere decir que hay que calcular (I − C)⁻¹.
• Mirar si alguna fila suma menos de 1: la condición pide que lo cumplan TODAS las filas (o todas las columnas).
• Decidir con los signos de C en vez de los de (I − C)⁻¹.
• Pensar que 1 es «menos de 1»: una fila que suma exactamente 1 no cumple la condición.

Dónde entra este tema en el parcial

• Segundo parcial — Transporte y combustible25 puntos · resuelto paso a paso

Los otros temas de la unidad 4

Matrices, determinantes e insumo-producto

• 4.1 Matrices: término general, tipos, suma y traspuesta
• 4.2 Producto de matrices y la forma A·x = b
• 4.3 Las matrices como espacio vectorial
• 4.4 Matrices como modelo: tablas, encuestas y grafos
• 4.5 Matriz inversa
• 4.6 Determinantes: cálculo y desarrollo por una fila o columna
• 4.7 Propiedades del determinante e inversibilidad
• 4.8 El determinante y los sistemas con parámetro
• 4.9 El modelo de insumo-producto

Ver todos los temas de Álgebra (71)