Álgebra (71) · Unidad 4 — Matrices, determinantes e insumo-producto
Matrices como modelo: tablas, encuestas y grafos
Una tabla de datos es una matriz, y las cuentas que se hacen con ella son productos: multiplicar por una columna de unos suma cada fila, por una fila de unos suma cada columna, y por un vector de precios o de pesos da totales. La matriz de un grafo de rutas cuenta, al elevarla al cuadrado, los viajes con una escala.
La explicación
Una tabla es una matriz
Un estudio contable factura a tres clientes en tres trimestres (en miles de pesos), y en el tercero cada cliente pagó un 10 % más que en el segundo:
c1 ( 40 50 55 )
c2 ( 30 20 22 )
c3 ( 60 70 77 )
La tercera columna es 1,1 por la segunda. Filas = clientes, columnas = trimestres: conviene decirlo siempre, porque de eso depende de qué lado se multiplica.
Sumar filas, sumar columnas, sumar todo
u·A, con u la fila de unos (tantos como filas): suma cada columna. Acá, el total por trimestre: (130, 140, 154).
u·A·u, con una fila de unos a la izquierda y una columna a la derecha: el total general, 424.
Los tamaños deciden todo: A es de 3×3, así que la columna de la derecha tiene 3 unos y el resultado es de 3×1 (una columna, un número por cliente).
Precios, pesos y porcentajes
Si Q tiene las cantidades (filas = sucursales, columnas = productos) y p es la columna de precios, Q·p da lo recaudado por sucursal: cada fila de cantidades por la columna de precios. Con p − c (precio menos costo) da la ganancia. Un puntaje funciona igual: resultados por fila y los puntos de cada resultado en una columna.
En una encuesta, si la columna j de P tiene los porcentajes de respuesta del grupo j (sumando 1) y N es la columna con la cantidad de gente de cada grupo, P·N da cuántas personas eligen cada respuesta: cada porcentaje queda multiplicado por la cantidad de su propio grupo.
Un porcentaje que cambia es una multiplicación
Si el mes siguiente todas las cantidades crecen un 10 %, la matriz nueva es 1,1·Q, y como el número sale afuera del producto, (1,1·Q)·p = 1,1·(Q·p): alcanza con multiplicar los resultados por 1,1. Si en cambio sube el precio de un solo producto, cambia una coordenada de p y hay que rehacer la cuenta, o sumarle Q por la columna de los aumentos.
Grafos: la matriz de rutas y sus potencias
Si hay n ciudades, la matriz M ∈ ℝn×n tiene mij = 1 si hay una ruta directa de la ciudad i a la j, y 0 si no. Los unos de la fila i son las rutas que salen de i; los de la columna j, las que llegan a j. M no tiene por qué ser simétrica: ir de i a j no dice nada de volver.
Cada término mikmkj vale 1 exactamente cuando se puede ir de i a k y de k a j. Así, (M²)ij cuenta los viajes de i a j con una escala; M³ cuenta los de dos escalas, y M + M² los de a lo sumo una escala. En la diagonal, (M³)ii cuenta las vueltas de tres tramos que salen de i y vuelven a i.
El control que conviene hacer siempre
Escribí los tamaños y el significado de filas y columnas antes de multiplicar, y controlá un número con el sentido común: el total por cliente sumado da lo mismo que el total por trimestre sumado. En un grafo, contá un (M²)ij con el dedo sobre el dibujo.
Con la tabla del estudio contable de la teoría (clientes por filas, trimestres por columnas), escribir qué productos dan el total por cliente, el total por trimestre y el total general, y calcularlos.
Por cliente: A es de 3×3; la columna de unos va a la derecha y tiene 3 unos.
= (145, 72, 207)
Por trimestre: la fila de unos a la izquierda.
Total: (1 1 1)·A·(1, 1, 1) = 145 + 72 + 207 = 424 (miles de pesos).
Control: 130 + 140 + 154 = 424, lo mismo por el otro lado ✔. Y el 10 %: el tercer trimestre suma 154 = 1,1·140 ✔, porque cada número de la columna 3 es 1,1 veces el de la columna 2.
Dónde se pierde el punto: poner la columna de unos a la izquierda: (3×1)·(3×3) no encaja. Y si la matriz no fuera cuadrada, poner la cantidad de unos equivocada.
Una consultora preguntó con qué medio de pago prefieren pagar a tres franjas de edad. Menores de 30: 20 % efectivo, 30 % débito, 50 % billetera virtual. De 30 a 60: 30 %, 40 % y 30 %. Mayores de 60: 60 %, 30 % y 10 %. En el padrón de clientes hay 4000 menores de 30, 5000 de 30 a 60 y 1000 mayores de 60. Estimar cuántos clientes prefieren cada medio.
Las matrices: P con los medios por filas y las franjas por columnas (cada columna suma 1), y N la columna de cantidades por franja.
( 0,3 0,4 0,3 )
( 0,5 0,3 0,1 )
N = (4000, 5000, 1000)
P·N, fila por columna: cada porcentaje queda multiplicado por la cantidad de su franja.
débito: 1200 + 2000 + 300 = 3500
billetera: 2000 + 1500 + 100 = 3600
Se estiman 2900 que prefieren efectivo, 3500 débito y 3600 billetera virtual.
Control: 2900 + 3500 + 3600 = 10000, el total del padrón ✔ (pasa porque cada columna de P suma 1).
Dónde se pierde el punto: armar P con las franjas por filas y multiplicar igual. Entonces cada porcentaje queda multiplicado por la cantidad de otra franja, y el total ya no da 10000.
Dónde se cae la mayoría
- Multiplicar por la columna de unos del lado equivocado: a la derecha suma filas, a la izquierda (como fila) suma columnas.
- Sumar los porcentajes de una encuesta en vez de multiplicar cada uno por la cantidad de gente de su grupo.
- Tomar la matriz de rutas como simétrica: una ruta de i a j no dice nada de una de j a i.
- Leer M² como el cuadrado de cada lugar: (M²)_ij se calcula fila por columna y cuenta viajes de dos tramos.
- Contar en M + M² sólo los viajes con escala: también están los directos.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Matrices como modelo: tablas, encuestas y grafos →Los otros temas de la unidad 4
Matrices, determinantes e insumo-producto
- 4.1 Matrices: término general, tipos, suma y traspuesta
- 4.2 Producto de matrices y la forma A·x = b
- 4.3 Las matrices como espacio vectorial
- 4.5 Matriz inversa
- 4.6 Determinantes: cálculo y desarrollo por una fila o columna
- 4.7 Propiedades del determinante e inversibilidad
- 4.8 El determinante y los sistemas con parámetro
- 4.9 El modelo de insumo-producto
- 4.10 Economías productivas