Tiza Paso a paso
Practicar →

Álgebra (71) · Unidad 4 — Matrices, determinantes e insumo-producto

El determinante y los sistemas con parámetro

Un sistema cuadrado A·x = b tiene solución única si y sólo si det A ≠ 0. Con un parámetro, se calcula el determinante, se ven los valores que lo anulan, y sólo para esos se escalona con la columna b para decidir entre infinitas soluciones y ninguna.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Tres cosas que son la misma

Para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, A·x = b con A ∈ ℝn×n, son equivalentes:

1) el sistema tiene solución única
2) A es inversible
3) det A ≠ 0

Si det A ≠ 0, la solución es x = A−1·b, sea cual sea b. Si det A = 0, el determinante no alcanza: el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible, y lo decide la columna b. Ahí hay que escalonar la matriz ampliada, como en la unidad 2.

El procedimiento con un parámetro

1. Calculá det A en función del parámetro.
2. Resolvé det A = 0. Para todos los valores que no son raíces: compatible determinado.
3. Para cada raíz, reemplazala en la matriz ampliada (con b, que también puede tener el parámetro) y escalonala.
4. Si aparece una fila (0 0 0 | c) con c ≠ 0: incompatible. Si las filas de ceros tienen 0 también a la derecha: compatible indeterminado.

El dibujo muestra tres planos que se cortan en un solo punto: es lo que pasa cuando det A ≠ 0. Con det A = 0 los planos quedan «en la misma dirección»: o comparten toda una recta, o no tienen ningún punto en común.

Un ejemplo con los dos finales

Con x₁ + x₂ + x₃ = 1 ; x₁ + 2x₂ + kx₃ = 2 ; 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = c, el determinante de A es 3 − k. Para k = 3 la tercera fila de A es la suma de las otras dos, y la tercera ecuación queda 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = c. Si c = 3 (= 1 + 2) es la suma de las otras dos ecuaciones y sobra: compatible indeterminado. Si c = 4, pide que 3 valga 4: incompatible. El mismo k que anula el determinante puede dar cualquiera de los dos finales, según b.

Si el parámetro está sólo del lado derecho

Con x₁ + x₂ = 3 ; 2x₁ − x₂ = k, el determinante de A es 1·(−1) − 1·2 = −3, que no depende de k: el sistema es compatible determinado para todo k. El término independiente nunca decide si hay solución única; sólo cambia cuál es. Al revés, si det A = 0 para cualquier valor del parámetro (por ejemplo, porque dos filas proporcionales no tienen la letra), el sistema nunca tiene solución única, y todo se decide escalonando.

Lo que se ve en el espacio

Cada ecuación de un sistema de 3×3 es un plano. Con det A ≠ 0 los tres se cortan en un único punto. Con det A = 0 quedan dos posibilidades: los tres pasan por una misma recta (compatible indeterminado), o no hay ningún punto común, porque se cortan de a dos en rectas paralelas, como las caras de un prisma, o porque dos de ellos son paralelos (incompatible).

Triangulares con parámetro

Si A es triangular, det A es el producto de la diagonal, y los valores que la anulan se leen directo. Pero la pregunta «¿tiene solución?» incluye a los compatibles indeterminados: para cada valor que anula la diagonal, hay que mirar la fila que se anula con su término independiente.

El control que conviene hacer siempre

Para un valor que no anula el determinante, resolvé y reemplazá: tiene que haber una única solución. Y para cada raíz, antes de decir «incompatible», fijate que la fila de ceros no tenga 0 también del lado derecho.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Clasificar según k el sistema x₁ + x₂ + x₃ = 1 ; x₁ + 2x₂ + kx₃ = 2 ; 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = k, y resolverlo para k = 0.

El determinante, por la primera fila:

1·(8 − 3k) − 1·(4 − 2k) + 1·(3 − 4)
= 8 − 3k − 4 + 2k − 1 = 3 − k

Se anula sólo en k = 3. Para k ≠ 3: compatible determinado.

Con k = 3, la ampliada (b también tiene la k):

( 1 1 1 | 1 )
( 1 2 3 | 2 )
( 2 3 4 | 3 )

F₃ − F₁ − F₂ = (0 0 0 | 0): la tercera ecuación es la suma de las otras dos. Queda una fila de ceros entera: compatible indeterminado.

Con k = 0 (solución única): x₁ + x₂ + x₃ = 1 ; x₁ + 2x₂ = 2 ; 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 0. De la segunda, x₁ = 2 − 2x₂; en la primera, x₃ = 1 − x₁ − x₂ = x₂ − 1; en la tercera, 2(2 − 2x₂) + 3x₂ + 4(x₂ − 1) = 3x₂ = 0. Entonces (x₁, x₂, x₃) = (2, 0, −1). Control: 2 + 0 − 1 = 1 ✔, 2 + 0 = 2 ✔, 4 + 0 − 4 = 0 ✔.

Dónde se pierde el punto: para k = 3, olvidarse de que b también cambia (la última ecuación tiene k del lado derecho) y escalonar con un 0 ahí. Con 0 en vez de 3 la fila quedaría (0 0 0 | −3) y la respuesta sería la contraria.

Y uno del nivel del parcial

Clasificar según a el sistema x₁ + x₂ + x₃ = 1 ; x₁ + 2x₂ − 3x₃ = 2 ; x₁ + x₂ + a²x₃ = a + 2.

El determinante: restando la primera fila a la tercera, (0, 0, a² − 1), y desarrollando por esa fila:

det A = (a² − 1)·det (1 1 ; 1 2) = a² − 1

Se anula en a = 1 y a = −1. Para a ≠ 1 y a ≠ −1: compatible determinado.

a = 1: la tercera ecuación queda x₁ + x₂ + x₃ = 3, y la primera dice que eso mismo vale 1. F₃ − F₁ = (0 0 0 | 2): incompatible.

a = −1: la tercera queda x₁ + x₂ + x₃ = 1, igual a la primera. F₃ − F₁ = (0 0 0 | 0): compatible indeterminado.

Control: con a = −1 el sistema se reduce a dos ecuaciones; x₃ = t da x₂ = 1 + 4t y x₁ = −5t, y por ejemplo t = 1 da (−5, 5, 1): −5 + 5 + 1 = 1 ✔ y −5 + 10 − 3 = 2 ✔.

Dónde se pierde el punto: ver que a = 1 y a = −1 dan la misma matriz de coeficientes (a² = 1 en los dos) y contestar lo mismo para los dos. Lo que los separa es el término independiente, a + 2, que vale 3 en uno y 1 en el otro.

Dónde se cae la mayoría

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar El determinante y los sistemas con parámetro →

Dónde entra este tema en el parcial

Los otros temas de la unidad 4

Matrices, determinantes e insumo-producto

Ver todos los temas de Álgebra (71)