Álgebra (71) · Unidad 4 — Matrices, determinantes e insumo-producto
Producto de matrices y la forma A·x = b
El lugar (i, j) de A·B sale de la fila i de A por la columna j de B: se multiplican término a término y se suman. Sólo existe si las columnas de A son tantas como las filas de B, en general A·B ≠ B·A, y un sistema entero se escribe como un solo producto: A·x = b.
La explicación
Fila por columna
Una fila por una columna del mismo largo da un número: se multiplican los lugares en orden y se suman. Por ejemplo, (2 −1 4) por la columna (3, 5, 1) da 2·3 + (−1)·5 + 4·1 = 5.
El producto de matrices hace eso con todas las filas de A y todas las columnas de B:
Cuándo existe y qué tamaño tiene
Los de adentro tienen que coincidir; los de afuera dan el tamaño. Una fila de 1×3 por una columna de 3×1 da un número (1×1), pero la columna por la fila da una matriz de 3×3: el mismo par, en el otro orden, da otra cosa.
Un solo lugar, sin hacer todo el producto
Para (A·B)ij alcanza con la fila i de A y la columna j de B. Si C = (A − 2B)·A y se pide c21, hace falta la fila 2 de A − 2B (o sea las filas 2 de A y de B) y la columna 1 de A. Lo mismo para una fila entera del producto (la fila i de A por cada columna de B) o una columna entera.
Lo que vale y lo que no
Asociativa: (A·B)·C = A·(B·C); y distributiva: A·(B + C) = A·B + A·C.
La identidad hace de 1: A·I = I·A = A.
A² = A·A, fila por columna. No es elevar cada lugar al cuadrado.
(A·B)t = Bt·At, con el orden dado vuelta.
Una ecuación como A² = 13·I o A·Bt = C son, otra vez, una ecuación por lugar: se calcula el producto con las letras adentro y se iguala. Hay que mirar todos los lugares: a veces uno solo descarta un valor que los otros permitían.
Una fila o una columna entera del producto
La fila i de A·B es la fila i de A multiplicada por toda B; la columna j de A·B es A por la columna j de B. Así se contesta «la segunda fila de A²» o «la primera columna de B·A» sin calcular el resto. Con A = (1 2 ; 3 0), la segunda fila de A² es (3 0)·A = (3·1 + 0·3, 3·2 + 0·0) = (3, 6).
Un sistema es un producto
El sistema 3x₁ − x₂ + x₃ = 2 ; x₁ + 4x₃ = 0 es A·x = b con A la matriz de coeficientes (2×3, de filas (3, −1, 1) y (1, 0, 4)), x la columna de incógnitas (3×1) y b la de términos independientes (2×1). Hacer A·x fila por columna devuelve los primeros miembros.
Eso da una consecuencia muy útil: si v₁ y v₂ son soluciones (A·v₁ = b y A·v₂ = b), por la distributiva
A·(v₁ − v₂) = b − b = 0
La suma de dos soluciones no es solución (salvo que b = 0), y la resta resuelve el sistema homogéneo, sin hacer ninguna cuenta con A.
El control que conviene hacer siempre
Antes de multiplicar, escribí los tamaños y fijate que los de adentro coincidan. Después recalculá un lugar cualquiera tapando todo lo demás: sólo tienen que quedar a la vista la fila i de la izquierda y la columna j de la derecha.
Sean A la matriz de filas (2, 1, −1) y (0, 3, 1), y B la matriz de 3×2 de filas (1, 2), (−1, 0) y (4, 1). Calcular A·B, decidir si B·A existe y de qué tamaño es, y calcular su lugar (3, 2).
Tamaños: (2×3)·(3×2): coinciden los de adentro, así que A·B existe y es de 2×2.
Lugar por lugar:
c12 = 2·2 + 1·0 + (−1)·1 = 3
c21 = 0·1 + 3·(−1) + 1·4 = 1
c22 = 0·2 + 3·0 + 1·1 = 1
A·B = filas (−3, 3) y (1, 1).
¿Y B·A? (3×2)·(2×3): también encajan, pero da una de 3×3. Ni siquiera tiene el tamaño de A·B, así que A·B ≠ B·A sin más cuentas.
El lugar (3, 2) de B·A: fila 3 de B por columna 2 de A: (4, 1)·(1, 3) = 4 + 3 = 7.
Control: recalculo c11 tapando todo menos la fila 1 de A, (2, 1, −1), y la columna 1 de B, (1, −1, 4): 2 − 1 − 4 = −3 ✔.
Dónde se pierde el punto: en el lugar (3, 2) de B·A, usar la fila 3 de A (que no existe: A tiene 2 filas) o la columna 2 de B. El producto se lee siempre «fila de la izquierda por columna de la derecha».
a) Sea A la matriz de filas (a, 1) y (0, a). Hallar todos los a tales que A² sea la matriz de filas (9, 6) y (0, 9). b) Sean A la matriz de filas (2, 1) y (1, 0), y B la de filas (1, x) y (x, −1). Hallar x para que A·B = B·A.
a) A² = A·A, fila por columna:
( 0 a² )
El lugar (1, 1) pide a² = 9, o sea a = 3 o a = −3. Pero el lugar (1, 2) pide 2a = 6, o sea a = 3. Sólo a = 3. Con a = −3 el lugar (1, 2) daría −6.
b) Los dos productos:
( 1 x )
B·A = ( 2 + x 1 )
( 2x − 1 x )
Los lugares (1, 1) y (2, 2) ya coinciden. Los otros dos piden 2x − 1 = 1: x = 1.
Control: con x = 1, A·B = filas (3, 1) y (1, 1), y B·A = filas (3, 1) y (1, 1) ✔.
Dónde se pierde el punto: en a), contestar «a = 3 o a = −3» mirando sólo la diagonal. El lugar (1, 2) también es una ecuación, y es la que descarta el −3.
Dónde se cae la mayoría
- Multiplicar lugar por lugar, como en la suma: el producto es fila por columna.
- Creer que A·B y B·A son lo mismo: el orden cambia el resultado, y a veces uno de los dos ni existe.
- Calcular A² elevando cada coeficiente al cuadrado.
- Multiplicar matrices cuyos tamaños no encajan: las columnas de la primera tienen que ser tantas como las filas de la segunda.
- Creer que la suma de dos soluciones de A·x = b es otra solución: da A·(v₁ + v₂) = 2b.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Producto de matrices y la forma A·x = b →Los otros temas de la unidad 4
Matrices, determinantes e insumo-producto
- 4.1 Matrices: término general, tipos, suma y traspuesta
- 4.3 Las matrices como espacio vectorial
- 4.4 Matrices como modelo: tablas, encuestas y grafos
- 4.5 Matriz inversa
- 4.6 Determinantes: cálculo y desarrollo por una fila o columna
- 4.7 Propiedades del determinante e inversibilidad
- 4.8 El determinante y los sistemas con parámetro
- 4.9 El modelo de insumo-producto
- 4.10 Economías productivas