Álgebra (71) · Unidad 4 — Matrices, determinantes e insumo-producto

Matriz inversa

La inversa de A es la matriz A⁻¹ que cumple A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Se calcula triangulando [A | I] hasta que a la izquierda quede la identidad: lo que queda a la derecha es A⁻¹. Si a la izquierda aparece una fila de ceros, A no tiene inversa. Con ella, A·x = b se resuelve como x = A⁻¹·b.

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La explicación

Qué es la inversa

Sólo para matrices cuadradas: A ∈ ℝ^n×n es inversible si existe una matriz A⁻¹ tal que

A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I_n

Si existe, es única: si B y C fueran dos inversas, B = B·I = B·(A·C) = (B·A)·C = I·C = C. Por eso se dice «la» inversa. No toda matriz la tiene: la nula no, y tampoco las que tienen una fila que es combinación de las otras.

Cómo se calcula: [A | I] → [I | A⁻¹]

Buscar A⁻¹ es resolver n sistemas con la misma matriz A: una columna de A⁻¹ por cada columna de I. Se resuelven todos a la vez triangulando la matriz ampliada con la identidad al lado.

1. Escribí [A | I]: A a la izquierda, la identidad del mismo tamaño a la derecha.
2. Con operaciones de fila (intercambiar filas, multiplicar una fila por un número distinto de 0, sumarle a una fila un múltiplo de otra), llevá la izquierda a la identidad. Cada operación se hace en la fila entera, las dos mitades.
3. Primero hacé ceros debajo de la diagonal, después unos en la diagonal, después ceros arriba.
4. Si en algún momento aparece a la izquierda una fila de ceros, A no es inversible: frená ahí.
5. Si llegaste a [I | B], entonces B = A⁻¹.

Es lo que muestra el dibujo con A = (2 1 ; 5 3). Para una de 2×2 hay además un atajo que sirve de control: si ad − bc ≠ 0, la inversa de (a b ; c d) es (d −b ; −c a) dividido por ad − bc. Con (2 1 ; 5 3), ad − bc = 1 y la inversa es (3 −1 ; −5 2).

Cuándo es inversible, a simple vista

Triangular o diagonal: es inversible si y sólo si ningún número de la diagonal es 0. Por ejemplo, (a b ; 0 c) lo es si a ≠ 0 y c ≠ 0.
Dos filas iguales o proporcionales: nunca es inversible (al restarlas aparece una fila de ceros).
Una fila o una columna de ceros: nunca.

Resolver A·x = b con la inversa

Si A es inversible, multiplicando a los dos lados por la izquierda por A⁻¹:

A⁻¹·A·x = A⁻¹·b → x = A⁻¹·b

El sistema es compatible determinado y la única solución es x = A⁻¹·b. Tiene sentido cuando hay que resolver varios sistemas con la misma A y distintos b: la inversa se calcula una vez. El orden importa: b es una columna, así que va a la derecha.

El control que conviene hacer siempre

Multiplicá A·A⁻¹: tiene que dar la identidad. Alcanza con controlar un par de lugares, uno de la diagonal (tiene que dar 1) y uno de afuera (tiene que dar 0). Y si resolviste A·x = b, reemplazá x en el sistema original.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Calcular la inversa de la matriz A ∈ ℝ³ˣ³ de filas (1, 1, 0), (0, 1, 2) y (1, 1, 1), y verificarla.

[A | I]:

( 1 1 0 | 1 0 0 )
( 0 1 2 | 0 1 0 )
( 1 1 1 | 0 0 1 )

Ceros debajo: F₃ − F₁ = (0 0 1 | −1 0 1). Ya está triangulada, con unos en la diagonal.

Ceros arriba, empezando por la columna 3: F₂ − 2F₃ = (0 1 0 | 2 1 −2). Después la columna 2: F₁ − F₂ = (1 0 0 | −1 −1 2).

( 1 0 0 | −1 −1   2 )
( 0 1 0 |   2   1 −2 )
( 0 0 1 | −1   0   1 )

A⁻¹ = filas (−1, −1, 2), (2, 1, −2) y (−1, 0, 1).

Control: fila 1 de A por columna 1 de A⁻¹: (1, 1, 0)·(−1, 2, −1) = 1 ✔. Fila 3 de A por columna 2 de A⁻¹: (1, 1, 1)·(−1, 1, 0) = 0 ✔. Fila 2 por columna 3: (0, 1, 2)·(2, −2, 1) = 0 ✔.

Dónde se pierde el punto: hacer F₂ − 2F₃ sólo en la mitad izquierda. La izquierda queda bien y la derecha no cambia, así que lo que se lee al final no es la inversa (y el control lo delata).

Y uno del nivel del parcial

a) Decidir para qué valores de a, b, c son inversibles la matriz de filas (a, 0) y (b, c), la de filas (a, 2a) y (b, 2b), y la matriz diagonal de 3×3 con a, 1 y a + c en la diagonal. b) Con A la matriz de filas (2, 1) y (5, 3), resolver A·x = b para b la columna (4, 11) usando la inversa.

a) La de filas (a, 0) y (b, c) es triangular inferior: es inversible si y sólo si a ≠ 0 y c ≠ 0 (b puede ser cualquier cosa). Si a = 0, su primera fila es de ceros; si c = 0, su segunda columna lo es.

La de filas (a, 2a) y (b, 2b) tiene la segunda columna igual al doble de la primera. Triangulando aparece siempre una fila de ceros (si a ≠ 0, F₂ − (b/a)F₁ = (0, 0)): nunca es inversible, para ningún a, b.

La diagonal es inversible si y sólo si ningún número de la diagonal es 0: a ≠ 0 y a + c ≠ 0, o sea a ≠ 0 y c ≠ −a. Su inversa es la diagonal de 1/a, 1 y 1/(a + c).

b) La inversa de A es la del dibujo: filas (3, −1) y (−5, 2). Entonces

x = A⁻¹·b = ( 3·4 − 1·11 ; −5·4 + 2·11 )
= (1, 2)

Control en el sistema: 2·1 + 1·2 = 4 ✔ y 5·1 + 3·2 = 11 ✔.

Dónde se pierde el punto: multiplicar b por A⁻¹ del lado equivocado, como fila por matriz: (4 11)·A⁻¹ da (−43, 18), que no resuelve nada.

Dónde se cae la mayoría

Hacer las operaciones de fila sólo en la mitad izquierda de [A | I]: cada operación va en la fila entera.
Escribir x = b·A⁻¹: b es una columna y va a la derecha, x = A⁻¹·b.
Creer que toda matriz que no es la nula tiene inversa: con dos filas proporcionales no hay.
Seguir triangulando cuando ya apareció una fila de ceros a la izquierda: eso ya dice que no hay inversa.
Pensar que una triangular siempre es inversible: hace falta que ningún número de la diagonal sea 0.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Segundo parcial — Cuando el determinante se anula25 puntos · resuelto paso a paso

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