Álgebra (71) · Unidad 4 — Matrices, determinantes e insumo-producto
El modelo de insumo-producto
En una economía de rubros que se compran entre sí, cada rubro produce para los otros rubros (la demanda interna, C·X) y para afuera (la demanda externa, D). Lo producido tiene que alcanzar para las dos: X = C·X + D, o sea (I − C)·X = D. La columna j de la matriz de tecnología C es lo que el rubro j necesita de cada rubro por cada peso que produce.
La explicación
La situación
Una empresa de fletes y una distribuidora de combustible se usan mutuamente: para hacer fletes hace falta combustible, y para distribuir combustible hacen falta fletes. Cada una, además, le vende a clientes de afuera. El modelo de insumo-producto (el de Leontief) responde: ¿cuánto tiene que producir cada rubro para cubrir lo que se usan entre ellos y lo que se les pide de afuera?
La matriz de tecnología
cij = cuántos pesos del rubro i necesita el rubro j por cada peso que produce. O sea, la columna j de C es la receta del rubro j. Si cada peso de flete usa $0,10 de fletes y $0,40 de combustible, y cada peso de combustible usa $0,30 de fletes y $0,20 de combustible:
C = ( 0,1 0,3 ) fletes
( 0,4 0,2 ) comb.
La primera columna (0,1; 0,4) es lo que usan los fletes; la segunda (0,3; 0,2), lo que usa el combustible. Leída por filas, la fila i dice cuánto le piden al rubro i los distintos rubros.
Demanda interna, externa y el balance
Si X = (x₁, x₂) es lo que produce cada rubro (en pesos), la demanda interna es C·X: el rubro i tiene que entregar ci1x₁ + ci2x₂ a los rubros. La demanda externa D = (d₁, d₂) es lo que se pide de afuera. El balance de cada rubro es «lo que produce = lo que le piden adentro + lo que le piden afuera»:
I − C es la matriz de Leontief. La fila i de (I − C)·X = D es el balance del rubro i: su propia producción con coeficiente 1 − cii, y la de los demás restando.
Las dos preguntas típicas
Dada la demanda D, ¿cuánto hay que producir? Se resuelve el sistema (I − C)·X = D, por Gauss (o X = (I − C)−1·D si la inversa ya está calculada).
También hay ejercicios con datos mezclados: se conoce parte de X y parte de D (por ejemplo, lo que produce un rubro y lo que se le pide de afuera al otro). Se escriben las ecuaciones del balance con las incógnitas que haya y se resuelve: cada rubro aporta una ecuación.
Armar C desde un texto
La trampa de siempre: el texto dice «para producir $1 de A se requieren $0,4 de B». Eso es un dato de la columna de A, en la fila de B: cBA = 0,4. Conviene escribir la matriz con los nombres de los rubros arriba y al costado antes de poner números.
El control que conviene hacer siempre
Con el X que encontraste, calculá C·X (lo que se usan entre ellos) y restalo de X: tiene que dar D exacto. Y los números tienen que tener sentido: cada rubro produce más de lo que se le pide de afuera.
En la economía de fletes y combustible de la teoría, la demanda externa es de $210 de fletes y $240 de combustible (en millones). Plantear el sistema, escribirlo como (I − C)·X = D y hallar la producción de cada rubro.
El balance de cada rubro: con x₁ = fletes y x₂ = combustible,
x₂ = 0,4x₁ + 0,2x₂ + 240
Como (I − C)·X = D:
( −0,4 0,8 ) ( x₂ ) = ( 240 )
Resuelvo. Multiplico por 10 para sacar las comas: 9x₁ − 3x₂ = 2100 y −4x₁ + 8x₂ = 2400. De la primera, x₂ = 3x₁ − 700; en la segunda, −4x₁ + 24x₁ − 5600 = 2400, o sea 20x₁ = 8000 y x₁ = 400. Entonces x₂ = 500.
Hay que producir 400 millones de pesos de fletes y 500 millones de combustible.
Control: la demanda interna es C·X = (0,1·400 + 0,3·500 ; 0,4·400 + 0,2·500) = (190, 260). Restando: 400 − 190 = 210 ✔ y 500 − 260 = 240 ✔.
Dónde se pierde el punto: escribir I − C con +0,3 y +0,4 afuera de la diagonal. La matriz de Leontief resta toda C, así que los coeficientes de afuera quedan negativos.
Una papelera (rubro 1), una cartonera (rubro 2) y una fábrica de embalajes (rubro 3) se proveen entre sí. Cada peso de papel requiere $0,20 de papel, $0,30 de cartón y $0,10 de embalajes; cada peso de cartón, $0,10 de papel, $0,10 de cartón y $0,40 de embalajes; cada peso de embalajes, $0,20 de papel, α pesos de cartón y $0,30 de embalajes. Con una producción de $200 de papel, β pesos de cartón y $300 de embalajes se satisface una demanda externa de γ pesos de papel, $45 de cartón y $130 de embalajes. Hallar α, β y γ.
La matriz de tecnología, por columnas (cada columna, la receta de un rubro):
C = ( 0,2 0,1 0,2 ) pap.
( 0,3 0,1 α ) cart.
( 0,1 0,4 0,3 ) emb.
Los tres balances, x − C·x = d, rubro por rubro, con X = (200, β, 300) y D = (γ, 45, 130):
cart.: β − 60 − 0,1β − 300α = 45
emb.: 300 − 20 − 0,4β − 90 = 130
El de embalajes tiene sólo a β: 190 − 0,4β = 130, así que 0,4β = 60 y β = 150. El de cartón, con β = 150: 150 − 60 − 15 − 300α = 45, o sea 300α = 30 y α = 0,1. El de papel: γ = 200 − 40 − 15 − 60 = 85.
Control: con α = 0,1, C·X = (40 + 15 + 60 ; 60 + 15 + 30 ; 20 + 60 + 90) = (115, 105, 170), y X − C·X = (85, 45, 130) ✔.
Dónde se pierde el punto: empezar por el balance del cartón, que tiene dos incógnitas (α y β). Conviene arrancar por la ecuación que tiene una sola, y cada resultado habilita la siguiente.
Dónde se cae la mayoría
- Leer C por filas como si fueran recetas: la columna j es lo que necesita el rubro j por peso producido.
- Plantear D = C·X en vez de D = X − C·X: la demanda externa es lo que sobra después de abastecer a los rubros.
- Armar I − C restando sólo la diagonal, o cambiando el signo sólo de la diagonal: todos los c_ij de afuera de la diagonal quedan con −.
- Al armar C desde un texto, poner «para producir $1 de A se usan $0,4 de B» en la fila de A: va en la columna de A.
- Contestar X = D, como si no hubiera demanda interna: cada rubro tiene que producir más de lo que se le pide de afuera.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar El modelo de insumo-producto →Dónde entra este tema en el parcial
- Segundo parcial — Transporte y combustible25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 4
Matrices, determinantes e insumo-producto
- 4.1 Matrices: término general, tipos, suma y traspuesta
- 4.2 Producto de matrices y la forma A·x = b
- 4.3 Las matrices como espacio vectorial
- 4.4 Matrices como modelo: tablas, encuestas y grafos
- 4.5 Matriz inversa
- 4.6 Determinantes: cálculo y desarrollo por una fila o columna
- 4.7 Propiedades del determinante e inversibilidad
- 4.8 El determinante y los sistemas con parámetro
- 4.10 Economías productivas