Álgebra (71) · Unidad 4 — Matrices, determinantes e insumo-producto

Las matrices como espacio vectorial

ℝᵐˣⁿ es un espacio vectorial como ℝⁿ: una matriz de 2×2 es, para estas cuentas, un vector de cuatro números. Combinaciones lineales, independencia, bases y dimensión se deciden igual que en la unidad 3, lugar por lugar.

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La explicación

Una matriz es un vector con otra forma

Con la suma lugar por lugar y el producto por un número, ℝ^m×n cumple las ocho propiedades de espacio vectorial. Para hacer cuentas conviene pensar cada matriz como la lista de sus números, leídos fila por fila: la matriz de filas (1, 2) y (0, −1) es, para estas cuentas, el vector (1, 2, 0, −1) de ℝ⁴. Todo lo de la unidad 3 se traslada tal cual.

Combinación lineal e independencia

¿C es combinación lineal de A y B? Se plantea C = α·A + β·B y se iguala lugar por lugar: con matrices de 3×2 quedan seis ecuaciones con dos incógnitas. Si el sistema es compatible, sí; si no, no. Para la independencia se plantea α·A + β·B + γ·C = 0 (la matriz nula) y se ve si la única solución es la trivial, o se usa la regla práctica: cada matriz como una fila de números, y se triangula.

La base canónica y la dimensión

Toda matriz de 2×2 se escribe con las cuatro que tienen un solo 1:

(a b ; c d) = a·E₁₁ + b·E₁₂ + c·E₂₁ + d·E₂₂

donde E_ij tiene un 1 en el lugar (i, j) y ceros en el resto. Esas cuatro son l.i. y generan: son la base canónica de ℝ^2×2, y dim ℝ^2×2 = 4. En general, dim ℝ^m×n = m·n: una E_ij por lugar.

Subespacios de matrices dados por condiciones

Las condiciones lineales sobre los lugares (a₁₁ + a₂₂ = 0, a_ij = a_ji, a₁₂ = 0…) definen subespacios, igual que las ecuaciones homogéneas en ℝⁿ. Para una base:

1. Escribí la matriz genérica con letras en cada lugar.
2. Usá las condiciones para despejar algunas letras en función de otras.
3. Separá la matriz genérica por letra libre: cada letra libre acompaña a una matriz fija.
4. Esas matrices fijas son una base, y la dimensión es la cantidad de letras libres = m·n − cantidad de condiciones independientes.

Por ejemplo, las de 2×2 con traza nula (la traza es la suma de la diagonal): d = −a, así que (a b ; c −a) = a·(1 0 ; 0 −1) + b·E₁₂ + c·E₂₁, y la dimensión es 3. Las simétricas de 2×2 son (a b ; b d), de dimensión 3; las antisimétricas, (0 b ; −b 0), de dimensión 1.

Las que conmutan con una matriz dada

W = {A ∈ ℝ^2×2 / A·M = M·A} es un subespacio: si A y A′ conmutan con M, su suma también. Para describirlo se escribe A = (a b ; c d), se calculan A·M y M·A con las letras, se igualan lugar por lugar, y queda un sistema homogéneo en a, b, c, d. Con M = I, todas conmutan: W = ℝ^2×2.

El subespacio generado por unas matrices

Se ponen las matrices como filas de números y se triangula: las filas no nulas son una base (volviéndolas a escribir como matrices), y su cantidad es la dimensión.

El control que conviene hacer siempre

Cada matriz de la base que diste tiene que cumplir todas las condiciones, y tienen que ser tantas como las letras libres. Si una combinación te dio C, armala entera y compará lugar por lugar: con seis lugares hay seis chances de encontrar un error.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

En ℝ³ˣ², sean A la matriz de filas (1, 0), (2, −1), (0, 1) y B la de filas (1, 1), (0, 1), (−1, 2). Decidir si C = filas (3, 2), (2, 1), (−2, 5) y D = filas (3, 2), (2, 1), (−2, 4) son combinaciones lineales de A y B. Después, hallar una base y la dimensión de W = {M ∈ ℝ²ˣ² / m₁₂ = 2m₂₁}.

C = αA + βB, lugar por lugar:

(1,1): α + β = 3
(1,2): β = 2
(2,1): 2α = 2
(2,2): −α + β = 1
(3,1): −β = −2
(3,2): α + 2β = 5

De (1, 2) y (2, 1): β = 2 y α = 1. Las otras cuatro: 1 + 2 = 3 ✔, −1 + 2 = 1 ✔, −2 = −2 ✔, 1 + 4 = 5 ✔. C = A + 2B.

Para D las cinco primeras ecuaciones son las mismas (dan α = 1, β = 2), pero la última pide α + 2β = 4, y da 5. D no es combinación lineal de A y B.

W: m₁₂ = 2m₂₁, así que la matriz genérica es

(a 2c ; c d) = a·(1 0 ; 0 0) + c·(0 2 ; 1 0) + d·(0 0 ; 0 1)

Una base de W es {(1 0 ; 0 0), (0 2 ; 1 0), (0 0 ; 0 1)} y dim W = 3: cuatro lugares menos una condición. Control: las tres cumplen m₁₂ = 2m₂₁ (0 = 0, 2 = 2·1, 0 = 0).

Dónde se pierde el punto: para D, sacar α y β de dos lugares y contestar «sí». Con seis ecuaciones y dos incógnitas, lo que decide son las que no usaste.

Y uno del nivel del parcial

Sea W = {A ∈ ℝ³ˣ³ / A es simétrica, a₁₁ = a₃₃ y a₁₂ + a₂₃ = 0}. Hallar una base y la dimensión de W, y decidir si la matriz de filas (2, 1, 0), (1, −3, −1), (0, −1, 2) pertenece a W.

La genérica simétrica tiene seis letras, no nueve: a₁₂ = a₂₁, a₁₃ = a₃₁, a₂₃ = a₃₂. Llamo p, q, r a la diagonal y s, u, v a los de arriba.

( p s u )
( s q v )
( u v r )

Las dos condiciones atan dos letras más: r = p y v = −s. Quedan cuatro libres: p, q, s, u. Separando,

p → (1 0 0 ; 0 0 0 ; 0 0 1)
q → (0 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 0)
s → (0 1 0 ; 1 0 −1 ; 0 −1 0)
u → (0 0 1 ; 0 0 0 ; 1 0 0)

Esas cuatro son una base, y dim W = 4. Control por conteo: 9 lugares, menos 3 condiciones de simetría, menos las 2 del enunciado: 9 − 3 − 2 = 4 ✔.

La matriz dada: es simétrica (a₁₂ = a₂₁ = 1, a₁₃ = a₃₁ = 0, a₂₃ = a₃₂ = −1), a₁₁ = a₃₃ = 2 y a₁₂ + a₂₃ = 1 − 1 = 0: pertenece a W. Con p = 2, q = −3, s = 1, u = 0 se arma con la base.

Dónde se pierde el punto: contar 9 − 2 = 7 olvidando que la simetría ya ata tres pares de lugares, o contar la simetría como seis condiciones (una por cada lugar fuera de la diagonal) en vez de tres.

Dónde se cae la mayoría

Creer que dim ℝ²ˣ³ es 2 o 3: es la cantidad de lugares, 6.
Al plantear C = αA + βB, usar sólo algunos lugares: todas las ecuaciones tienen que cumplirse con los mismos α y β.
En las simétricas, contar dos letras para a₁₂ y a₂₁: son la misma, y la dimensión baja.
Dar como base matrices que no cumplen las condiciones, por ejemplo la identidad para las de traza nula.
En A·M = M·A, calcular un solo producto y compararlo con A: hay que hacer los dos, con las letras adentro.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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