Álgebra (71) · Unidad 4 — Matrices, determinantes e insumo-producto

Propiedades del determinante e inversibilidad

El determinante del producto es el producto de los determinantes, y el de la traspuesta es el mismo; pero el de una suma no es la suma. La propiedad que más se usa: A es inversible si y sólo si det A ≠ 0. Con eso, decidir para qué valores de x una matriz tiene inversa es resolver det = 0.

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La explicación

Las propiedades que se usan

1. det(A·B) = det A · det B.
2. det(A^t) = det A.
3. det(k·A) = kⁿ·det A si A es de n×n (se multiplica cada una de las n filas por k).
4. A es inversible si y sólo si det A ≠ 0, y entonces det(A⁻¹) = 1/det A.
5. det(A + B) no es det A + det B.

Con A = (1 2 ; 0 3) y B = (2 0 ; 1 1): det A = 3, det B = 2, y A·B = (4 2 ; 3 3) tiene determinante 12 − 6 = 6 = 3·2 ✔. En cambio A + B = (3 2 ; 1 4) tiene determinante 10, no 5. Y 2A = (2 4 ; 0 6) tiene determinante 12 = 2²·3: el 2 sale al cuadrado porque multiplica las dos filas.

La 4 sale de la 1: si A tiene inversa, det A · det A⁻¹ = det I = 1, así que det A no puede ser 0.

Tres consecuencias que se usan mucho

det(A·B) = det(B·A), aunque A·B y B·A sean matrices distintas: los dos valen det A · det B.
det(A²) = (det A)², y en general det(Aⁿ) = (det A)ⁿ. Si det A = −2, det(A³) = −8.
Si A·B es inversible, A y B lo son: det A · det B ≠ 0 obliga a que ninguno de los dos sea 0.

Y el múltiplo, con cuidado: en una de 3×3 con det A = 5, det(2A) = 2³·5 = 40 y det(−A) = (−1)³·5 = −5. Cambiarle el signo a toda una matriz de tamaño impar le cambia el signo al determinante; en una de tamaño par, no.

Qué hace que el determinante sea 0

Una fila (o columna) de ceros, dos filas iguales o proporcionales, o una fila que es combinación de las otras. Es lo mismo que decir que las filas son linealmente dependientes, y por eso esas matrices no tienen inversa: al triangular [A | I] aparece una fila de ceros a la izquierda. El dibujo lo muestra en el plano: una matriz de determinante 0 aplasta el cuadrado sobre una recta, y ya no hay forma de volver.

Los x para los que es (o no es) inversible

1. Calculá det A con la letra adentro (por la fila o columna más conveniente).
2. Resolvé det A = 0: ésos son los valores para los que A no es inversible.
3. Para todos los demás, A es inversible.
4. Si det A no se anula nunca (por ejemplo x² + 1), es inversible para todo x.

Con A = (x 1 0 ; 2 x 1 ; 0 1 1), por la primera fila: x·(x − 1) − 1·(2 − 0) = x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1). No es inversible para x = 2 y x = −1.

Productos y sumas con letras

Para det(A·B) no hace falta multiplicar: alcanza con det A · det B. En particular, A·B no es inversible si y sólo si alguna de las dos no lo es: det A · det B = 0 ⇔ det A = 0 o det B = 0. Una igualdad como det(A·B) = det A se escribe det A·(det B − 1) = 0, o sea det A = 0 o det B = 1.

Para det(2A + B), en cambio, hay que armar la matriz 2A + B lugar por lugar y calcular su determinante: no hay atajo.

El control que conviene hacer siempre

Reemplazá uno de los valores que encontraste en la matriz: tiene que aparecer una fila que sea combinación de las otras. Y probá un valor que no esté en la lista: el determinante tiene que dar distinto de 0.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Sean A la matriz de filas (1, 2) y (0, 3), y B la de filas (2, 0) y (1, 1). Calcular det(A·B), det(A + B), det(2A), det(Aᵗ) y det(A⁻¹), y comparar con det A y det B.

Los dos por separado: det A = 3 − 0 = 3 y det B = 2 − 0 = 2.

El producto: A·B = filas (1·2 + 2·1, 0 + 2) y (3, 3) = filas (4, 2) y (3, 3), con det = 12 − 6 = 6. Coincide con det A·det B = 3·2 = 6 ✔.

La suma: A + B = filas (3, 2) y (1, 4), con det = 12 − 2 = 10, que no es 3 + 2 = 5.

El múltiplo: 2A = filas (2, 4) y (0, 6), con det = 12 = 2²·3 ✔ (dos filas, cada una multiplicada por 2).

Traspuesta e inversa: A^t = filas (1, 0) y (2, 3), det = 3 = det A ✔. Y det(A⁻¹) = 1/3; se controla con A⁻¹ = filas (1, −2/3) y (0, 1/3), cuyo determinante es 1·(1/3) − 0 = 1/3 ✔.

Dónde se pierde el punto: contestar det(2A) = 6. El 2 multiplica todas las filas, y cada fila aporta un factor 2.

Y uno del nivel del parcial

Sea A la matriz de filas (x, 1, 0), (2, x, 1) y (0, 1, 1). Hallar todos los x para los que A no es inversible, y controlar uno de ellos.

El determinante, por la primera fila (tiene un 0):

det A = x·det (x 1 ; 1 1) − 1·det (2 1 ; 0 1)
= x(x − 1) − 2 = x² − x − 2

Cuándo se anula: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0, así que x = 2 o x = −1.

A no es inversible para x = 2 y para x = −1, y es inversible para cualquier otro x.

Control con x = 2: las filas son (2, 1, 0), (2, 2, 1) y (0, 1, 1). La segunda menos la primera da (0, 1, 1), que es la tercera: las filas son dependientes ✔. Y con x = 0, por ejemplo, det A = −2 ≠ 0.

Dónde se pierde el punto: factorizar mal la cuadrática, (x + 2)(x − 1), y dar x = −2 y x = 1. Antes de contestar, reemplazá: con x = 1, det A = 1 − 1 − 2 = −2 ≠ 0.

Dónde se cae la mayoría

Calcular det(2A) como 2·det A: en una de n×n es 2ⁿ·det A.
Suponer que det(A + B) = det A + det B: casi nunca es cierto, hay que armar A + B.
Resolver det A = 0 y contestar esos valores cuando se preguntaba para cuáles ES inversible.
En det(A·B) = det A, simplificar det A y perder la solución det A = 0.
Creer que una matriz con todos sus números distintos de 0 es inversible: puede tener filas proporcionales.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

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Dónde entra este tema en el parcial

Segundo parcial — Cuando el determinante se anula25 puntos · resuelto paso a paso

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