Álgebra (71) · Unidad 4 — Matrices, determinantes e insumo-producto

Matrices: término general, tipos, suma y traspuesta

Una matriz es una tabla de números donde cada uno tiene su dirección: a_ij está en la fila i y la columna j. Se suman y se multiplican por un número lugar por lugar, y la traspuesta da vuelta filas por columnas. Simétrica, antisimétrica, triangular y diagonal son condiciones sobre esos lugares.

Practicar este tema →7 ejercicios que te corrigen paso a paso · gratis, sin cuenta

La explicación

Qué es una matriz y cómo se nombran sus lugares

Una matriz A ∈ ℝ^m×n es una tabla de números con m filas y n columnas. Se escribe A = (a_ij): el número a_ij está en la fila i y en la columna j, primero la fila, después la columna. Si m = n la matriz es cuadrada, y los a_ii (a₁₁, a₂₂, …) forman su diagonal principal.

El término general

Muchas veces la matriz no se da con sus números sino con una fórmula para a_ij. Para escribirla se recorre fila por fila reemplazando i y j. Con A ∈ ℝ^2×3 y a_ij = i + 2j:

fila 1: 1+2, 1+4, 1+6 → 3, 5, 7
fila 2: 2+2, 2+4, 2+6 → 4, 6, 8

Si la fórmula viene por casos («a_ij = 3j − i si i ≤ j, y 0 si i > j»), en cada lugar se decide primero qué caso toca comparando i con j. Es lo que muestra el dibujo.

Los tipos que hay que reconocer (en ℝ^n×n)

Identidad I_n: unos en la diagonal y ceros en el resto.
Diagonal: a_ij = 0 si i ≠ j.
Triangular superior: a_ij = 0 si i > j (ceros debajo de la diagonal).
Simétrica: a_ij = a_ji para todo i, j (la diagonal hace de espejo).
Antisimétrica: a_ij = −a_ji para todo i, j.

En una antisimétrica la diagonal es toda 0, porque a_ii = −a_ii obliga a a_ii = 0. Las condiciones no piden que lo demás sea distinto de 0: una diagonal es también triangular superior, y la matriz nula es simétrica y antisimétrica a la vez (es la única).

Igualdad, suma y producto por un número

Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y coinciden lugar por lugar: una igualdad de matrices de 2×2 son cuatro ecuaciones, y alcanza con que una sea imposible para que no haya solución.

Sólo se suman matrices del mismo tamaño, lugar por lugar: (A + B)_ij = a_ij + b_ij. Y (kA)_ij = k·a_ij. Con estas operaciones ℝ^m×n es un espacio vectorial (lo vas a usar en el tema 4.3), y se despeja como con números: de X + A = D sale X = D − A; de 2X − B = D sale X = (D + B)/2.

La traspuesta

A^t se arma escribiendo las filas de A como columnas: (A^t)_ij = a_ji. Si A es de m×n, A^t es de n×m, así que A + A^t sólo existe si A es cuadrada.

(A + B)^t = A^t + B^t
(kA)^t = k·A^t ; (A^t)^t = A

Con la traspuesta, las definiciones se escriben cortas: A es simétrica si A^t = A y antisimétrica si A^t = −A. Para cualquier A cuadrada, A + A^t es simétrica y A − A^t es antisimétrica.

Para buscar un solo lugar de una traspuesta no hace falta armarla: el lugar (3, 1) de A^t − 2B^t = (A − 2B)^t es el lugar (1, 3) de A − 2B.

El control que conviene hacer siempre

Antes de operar, escribí los tamaños: si no coinciden, la suma no existe. En una traspuesta, la primera fila de A tiene que haber quedado como primera columna de A^t. Y en una igualdad de matrices, mirá también los lugares que no tienen letras: son ecuaciones que pueden fallar.

Un ejercicio resuelto, paso a paso

Escribir la matriz A ∈ ℝ³ˣ³ de término general a_ij = 2i + j − 3. Calcular A − Aᵗ y A + Aᵗ, y decidir de qué tipo es cada una.

Fila por fila: para cada i, reemplazo j = 1, 2, 3.

fila 1: 0, 1, 2
fila 2: 2, 3, 4
fila 3: 4, 5, 6

La traspuesta: las filas de A pasan a ser columnas, así que A^t tiene filas (0, 2, 4), (1, 3, 5) y (2, 4, 6).

A − A^t, lugar por lugar:

( 0 −1 −2 )
( 1 0 −1 )
( 2 1 0 )

Es antisimétrica: la diagonal es 0 y cada lugar es el opuesto de su espejo (el (1, 2) vale −1 y el (2, 1) vale 1; el (1, 3) vale −2 y el (3, 1) vale 2).

A + A^t tiene filas (0, 3, 6), (3, 6, 9) y (6, 9, 12): es simétrica, porque su lugar (i, j) es a_ij + a_ji, lo mismo que el (j, i).

Control: la mitad de la suma más la mitad de la resta devuelve A: por ejemplo, en el lugar (2, 1), 3/2 + 1/2 = 2 = a₂₁ ✔. Toda matriz cuadrada es una simétrica más una antisimétrica.

Dónde se pierde el punto: calcular a_ij con i y j cambiados. Con eso sale directamente A^t, y la resta queda con todos los signos al revés.

Y uno del nivel del parcial

Sean A la matriz de filas (x, 2) y (−1, y), y B la de filas (3, z) y (w, 1). a) Hallar x, y, z, w tales que A + 2B sea la matriz de filas (7, 0) y (5, 4). b) Decidir si existen x, y, z, w tales que A − B = Bᵗ.

a) A + 2B = filas (x + 6, 2 + 2z) y (−1 + 2w, y + 2). Una ecuación por lugar:

x + 6 = 7 → x = 1
2 + 2z = 0 → z = −1
−1 + 2w = 5 → w = 3
y + 2 = 4 → y = 2

Control: A = filas (1, 2), (−1, 2) y 2B = filas (6, −2), (6, 2); la suma es filas (7, 0), (5, 4) ✔.

b) A − B = filas (x − 3, 2 − z) y (−1 − w, y − 1), y B^t = filas (3, w) y (z, 1).

(1, 1): x − 3 = 3 → x = 6
(1, 2): 2 − z = w → z + w = 2
(2, 1): −1 − w = z → z + w = −1
(2, 2): y − 1 = 1 → y = 2

Los lugares (1, 2) y (2, 1) piden que z + w valga 2 y −1 a la vez: no existen. Las ecuaciones de la diagonal sí tienen solución, pero con una sola imposible alcanza para que la igualdad no se pueda cumplir.

Dónde se pierde el punto: en b), resolver las cuatro ecuaciones de a una y contestar «x = 6, y = 2, z = 2 − w». Las dos del medio tienen las mismas letras, y hay que mirarlas juntas.

Dónde se cae la mayoría

Leer a_ij al revés, columna primero: a₂₃ está en la fila 2 y la columna 3.
Sumar A con Aᵗ cuando A no es cuadrada: tienen tamaños distintos y la suma no existe.
Creer que una antisimétrica puede tener algo distinto de 0 en la diagonal: a_ii = −a_ii obliga a que sea 0.
En una igualdad de matrices, resolver sólo los lugares con letras y no mirar si los otros se cumplen.
Al despejar de 2X − B = D, olvidarse de dividir por 2 o pasar B restando.

Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.

Practicar Matrices: término general, tipos, suma y traspuesta →

Los otros temas de la unidad 4

Matrices, determinantes e insumo-producto

Ver todos los temas de Álgebra (71)