Álgebra (71) · Unidad 3 — Espacios vectoriales
Extender a una base y bases con condiciones
Extender un conjunto l.i. es agregarle vectores hasta tener una base, sin que se vuelva dependiente; si el conjunto ya es dependiente, no se puede. Con la dimensión a la vista, armar bases con condiciones es elegir vectores del subespacio que no sean combinación de los que ya están.
La explicación
Extender a una base de ℝⁿ
Extender un conjunto {v₁, …, v_r} a una base de V es encontrar una base de V que lo contenga. Hay que agregar dim V − r vectores, y la única condición es que el conjunto no se vuelva dependiente.
2. Poné los vectores como filas y triangulá.
3. Mirá en qué columnas no quedó ningún primer número de fila (ningún «escalón»).
4. Agregá los vectores canónicos de esas columnas: la matriz queda triangulada, sin filas nulas, y el conjunto es l.i.
5. Contá: tienen que ser n vectores.
Por ejemplo, {(1, 0, 3)} tiene su escalón en la columna 1: se agregan (0, 1, 0) y (0, 0, 1). En cambio (1, 0, 0) no sirve para completar, porque (1, 0, 3), (0, 0, 1) y (1, 0, 0) tienen los tres un 0 en la segunda coordenada: están todos en el plano x₂ = 0.
Una base de S que contenga un vector dado
2. Calculá dim S: dice cuántos vectores hay que agregar.
3. Elegí vectores de S (cumplen las ecuaciones) que no sean combinación de los que ya tenés. En un plano, alcanza con uno que no sea múltiplo del dado.
Elegir bases de una lista
Si hay que armar bases de ℝ³ con vectores de una lista, se toman ternas y se triangula cada una. Antes conviene descartar lo evidente: una terna que tiene dos colineales, o un vector que es la suma de otros dos de la terna, nunca sirve.
Un vector que esté en dos subespacios
Si S viene por una ecuación y W por generadores, un vector de W es a·w₁ + b·w₂. Se reemplaza ese vector genérico en la ecuación de S: queda una condición sobre a y b. Cualquier par (a, b) no nulo que la cumpla da un vector que está en los dos. Ojo con lo que se contesta: la respuesta es un vector, no la relación entre a y b.
¿S está contenido en T? Extender de S a T
Si S viene por generadores y T por ecuaciones, S ⊆ T si cada generador de S cumple las ecuaciones de T (entonces todas sus combinaciones también). Para extender una base de S a una de T se agregan vectores de T que no estén en S, hasta llegar a dim T.
Si el conjunto no viene triangulado
Primero se triangula y después se mira qué columnas quedaron sin escalón. Con {(1, 2, 1), (3, 6, 2)}: F₂ − 3F₁ = (0, 0, −1), así que hay escalones en las columnas 1 y 3, y se agrega (0, 1, 0): las filas (1, 2, 1), (0, 1, 0) y (0, 0, −1) no dejan ninguna nula. En cambio (0, 0, 1) no sirve, porque queda proporcional a (0, 0, −1); y tampoco sirve la suma (4, 8, 3) de los dos dados, que es combinación de ellos.
Escribir un vector en una base
Si B es base de S y w ∈ S, w = a·b₁ + b·b₂ tiene una única solución: se igualan coordenadas y se resuelve, como en el primer tema de la unidad.
El control que conviene hacer siempre
Con la base que armaste: todos los vectores cumplen las ecuaciones de S, son tantos como la dimensión, y triangulados como filas no dejan ninguna fila nula.
a) Extender, si es posible, {(1, 2, −1), (2, 4, 1)} a una base de ℝ³. b) Decidir si se puede extender {(1, −1, 2), (−2, 2, −4)}.
a) Triangulo:
( 2 4 1 ) F₂ − 2F₁ → ( 0 0 3 )
No hay fila nula: el conjunto es l.i. y se puede extender. Los escalones están en las columnas 1 y 3; falta la 2. Agrego (0, 1, 0):
( 0 1 0 )
( 0 0 3 )
Triangulada y sin filas nulas: rango 3. {(1, 2, −1), (2, 4, 1), (0, 1, 0)} es una base de ℝ³.
¿Y si hubiera agregado (0, 0, 1)? Con la fila (0, 0, 3) quedarían dos filas proporcionales: rango 2. No sirve cualquier vector; sirve uno que llene la columna que faltaba.
b) (−2, 2, −4) = −2·(1, −1, 2): el conjunto es l.d. No se puede extender: cualquier conjunto que contenga a esos dos tiene una combinación no trivial que da 0.
Dónde se pierde el punto: en b), agregar un vector y decir «listo, son tres». Tres vectores de ℝ³ son base sólo si son l.i., y con dos colineales adentro eso ya no puede pasar.
Sea S = {x ∈ ℝ³ / x₁ − x₂ + 2x₃ = 0}. a) Hallar una base de S que contenga a v = (1, 3, 1). b) Extender esa base a una base de ℝ³. c) Hallar un vector no nulo que esté en S y en W = ⟨(1, 0, 1), (0, 1, 1)⟩.
a) Primero, ¿v ∈ S? 1 − 3 + 2 = 0 ✔. Como dim S = 2, falta un vector de S que no sea múltiplo de v. Pruebo (1, 1, 0): 1 − 1 + 0 = 0 ✔, y no es múltiplo de (1, 3, 1). Base: {(1, 3, 1), (1, 1, 0)}.
b) Triangulo con (1, 1, 0) arriba:
( 1 3 1 ) F₂ − F₁ → ( 0 2 1 )
Faltan escalones en la columna 3: agrego (0, 0, 1). Las filas (1, 1, 0), (0, 2, 1), (0, 0, 1) quedan trianguladas, así que {(1, 3, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)} es base de ℝ³. (Tiene sentido: (0, 0, 1) no cumple la ecuación de S, 0 − 0 + 2 ≠ 0, así que se sale del plano.)
c) Un vector de W es a(1, 0, 1) + b(0, 1, 1) = (a, b, a + b). Lo meto en la ecuación de S:
Con a = 1 y b = −3: (1, −3, −2). Control: en S, 1 + 3 − 4 = 0 ✔; en W, es (1, 0, 1) − 3(0, 1, 1) ✔. Todos los vectores que están en los dos son sus múltiplos: los dos planos se cortan en una recta.
Dónde se pierde el punto: en c), contestar «b = −3a». Eso es la condición; el vector se arma reemplazándola en (a, b, a + b) y eligiendo un a distinto de 0.
Dónde se cae la mayoría
- Intentar extender un conjunto que ya es dependiente: si tiene dos vectores colineales, ningún vector que agregues lo arregla.
- Agregar un vector que parece nuevo pero es combinación de los que ya están, como la suma de dos de ellos.
- Buscar una base de S que contenga un vector que no está en S: primero hay que reemplazarlo en las ecuaciones.
- Para extender una base de S a una de T, agregar un vector que no está en T: tiene que cumplir las ecuaciones de T y no estar en S.
- En la intersección, contestar la condición sobre a y b en vez de armar el vector con ella.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Extender a una base y bases con condiciones →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Tres generadores que alcanzan con dos25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 3
Espacios vectoriales