Álgebra (71) · Unidad 3 — Espacios vectoriales
Subespacios: generados y dados por ecuaciones
Un subespacio es un pedazo del espacio del que no se sale sumando ni multiplicando por números. Aparece de dos maneras: como todas las combinaciones de unos generadores, ⟨v₁, v₂⟩, o como las soluciones de ecuaciones homogéneas. En ℝ³ son las rectas y los planos que pasan por el origen.
La explicación
Las tres condiciones
Dentro de un espacio vectorial, un subconjunto S es un subespacio cuando cumple estas tres cosas:
2) si v ∈ S y w ∈ S, v + w ∈ S
3) si v ∈ S y λ ∈ ℝ, λ·v ∈ S
O sea: tiene al vector nulo, y operando no te salís. La 1) es la que más rápido descarta: si el 0 no está, no hace falta mirar nada más.
Primera forma: dado por ecuaciones
S = {x ∈ ℝ³ / x₁ − 2x₂ + x₃ = 0} es un subespacio. El 0 cumple la ecuación, y si dos vectores la cumplen, su suma también: por ejemplo (1, 1, 1) y (2, 1, 0) están en S, y su suma (3, 2, 1) da 3 − 4 + 1 = 0. En general, el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo (todas las ecuaciones igualadas a 0) es siempre un subespacio.
En cambio {x ∈ ℝ³ / x₁ − 2x₂ + x₃ = 4} no lo es: el 0 da 0 ≠ 4. Tampoco lo son los que tienen desigualdades (x₁ ≥ 0 se rompe multiplicando por −1) ni productos entre coordenadas (x₁·x₂ = 0 son dos planos, y (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) se escapa).
Segunda forma: el subespacio generado
Dados v₁, …, v_r, el conjunto de todas sus combinaciones lineales es un subespacio, que se llama el subespacio generado y se escribe ⟨v₁, …, v_r⟩. Es cerrado porque la suma de dos combinaciones es otra combinación, y un múltiplo también. Ojo con la notación: {v₁, v₂} son dos vectores; ⟨v₁, v₂⟩ son infinitos.
Cómo se ven en ℝ² y en ℝ³
⟨u, v⟩ con u y v no colineales: el plano por el origen que los contiene.
⟨u, v⟩ con u y v colineales (uno múltiplo del otro): sigue siendo una recta, porque el segundo no aporta nada.
Además están los dos triviales: {0} y el espacio entero.
En ℝ² los subespacios son {0}, las rectas por el origen y ℝ²; en ℝ³ se agregan los planos por el origen. Una recta o un plano que no pasa por el origen no es un subespacio.
Pertenencia
Si S viene por ecuaciones, se reemplaza: v ∈ S si cumple todas. Si viene por generadores, v ∈ ⟨v₁, v₂⟩ quiere decir «v es combinación lineal de v₁ y v₂», y se resuelve el sistema del tema anterior. Cuando el vector trae un parámetro, se pide que el sistema sea compatible; los valores para los que no pertenece son todos los demás.
De generadores a ecuación: eliminar los parámetros
A veces conviene tener las dos formas. Para pasar de ⟨u, v⟩ a una ecuación se escribe el vector genérico y se eliminan los coeficientes.
2. Despejá a y b de dos de esas igualdades (las más simples).
3. Reemplazalos en la tercera: queda una ecuación en x₁, x₂, x₃ sin a ni b.
4. Pasá todo a un miembro: te queda algo = 0 (tiene que ser homogénea).
5. Control: los dos generadores tienen que cumplirla.
Por ejemplo, con u = (2, 1, 0) y v = (0, 1, 1): x₁ = 2a, x₂ = a + b, x₃ = b. De la primera y la tercera, a = x₁/2 y b = x₃; en la segunda, x₂ = x₁/2 + x₃, o sea x₁ − 2x₂ + 2x₃ = 0. Control: 2 − 2 + 0 = 0 ✔ y 0 − 2 + 2 = 0 ✔. Es el plano del dibujo.
El control que conviene hacer siempre
Antes de nada, probá el 0: si no está, no es subespacio. Y cada vez que armes una ecuación a partir de generadores, reemplazá los generadores en ella: si alguno no la cumple, hay un signo cruzado.
Sea S = ⟨(1, −1, 2), (0, 1, 1)⟩. a) Describir S geométricamente. b) Hallar una ecuación de S. c) Decidir si (2, 1, 7) y (1, 1, 1) pertenecen a S. d) Describir T = ⟨(1, 2, −3), (−2, −4, 6)⟩.
a) Los generadores no son colineales (ningún número multiplica al segundo para dar el primero: el 0 de su primera coordenada no puede dar 1). Entonces S es un plano que pasa por el origen.
b) Elimino los parámetros. x = a(1, −1, 2) + b(0, 1, 1):
x₂ = −a + b
x₃ = 2a + b
De la primera, a = x₁; de la segunda, b = x₂ + x₁. En la tercera: x₃ = 2x₁ + x₁ + x₂, o sea
Control con los generadores: 3 − 1 − 2 = 0 ✔ y 0 + 1 − 1 = 0 ✔.
c) Con la ecuación es reemplazar: (2, 1, 7) da 6 + 1 − 7 = 0, así que (2, 1, 7) ∈ S. Por el otro camino, 2·(1, −1, 2) + 3·(0, 1, 1) = (2, 1, 7) ✔. En cambio (1, 1, 1) da 3 + 1 − 1 = 3 ≠ 0: (1, 1, 1) ∉ S.
d) (−2, −4, 6) = −2·(1, 2, −3): los generadores son colineales, así que T = ⟨(1, 2, −3)⟩ es una recta por el origen, aunque tenga dos generadores.
Dónde se pierde el punto: en d), contestar «plano» porque hay dos vectores. Lo que cuenta no es cuántos generadores hay, sino cuántas direcciones distintas aportan.
a) Hallar todos los λ para los que (4, λ, 2) no pertenece a S = ⟨(1, 1, 0), (1, 3, 2)⟩. b) Hallar a para que (3, −1, 2) pertenezca a T = {x ∈ ℝ³ / x₁ + a·x₂ − 2x₃ = 0}.
a) Planteo la pertenencia: (4, λ, 2) = α(1, 1, 0) + β(1, 3, 2) = (α + β, α + 3β, 2β).
α + 3β = λ
2β = 2
La primera y la tercera no tienen λ: β = 1 y α = 3. La segunda dice que el vector pertenece sólo si λ = 3 + 3 = 6.
Con λ = 6 el sistema es compatible y (4, 6, 2) = 3(1, 1, 0) + (1, 3, 2) ✔. Con cualquier otro λ la segunda ecuación falla. La respuesta es la contraria de la que salió: (4, λ, 2) ∉ S para todo λ ≠ 6.
b) T viene por una ecuación: reemplazo. 3 + a·(−1) − 2·2 = 0, o sea −1 − a = 0 y a = −1. Con ese a, T: x₁ − x₂ − 2x₃ = 0, y (3, −1, 2) da 3 + 1 − 4 = 0 ✔.
Dónde se pierde el punto: en a), contestar «λ = 6». Ése es el único valor para el que sí pertenece; el ejercicio pedía los otros.
Dónde se cae la mayoría
- Decir que un plano es subespacio porque «es un plano»: si no pasa por el origen, el 0 no está.
- Creer que ⟨u, v⟩ es siempre un plano: si u y v son colineales, es una recta.
- Confundir {v₁, v₂}, que son dos vectores, con ⟨v₁, v₂⟩, que son todas sus combinaciones.
- Al pasar de generadores a ecuación, quedarse con una ecuación que todavía tiene a o b: los parámetros se eliminan del todo.
- Contestar los λ para los que el vector pertenece cuando se pedían los que hacen que NO pertenezca.
Hasta acá la explicación. La práctica es la otra mitad: 7 ejercicios de este tema, en cuatro niveles, que no te dicen sólo si está bien al final sino que te corrigen en cada paso y te explican por qué. Además trae una animación que muestra la idea en movimiento.
Practicar Subespacios: generados y dados por ecuaciones →Dónde entra este tema en el parcial
- Primer parcial — Tres generadores que alcanzan con dos25 puntos · resuelto paso a paso
Los otros temas de la unidad 3
Espacios vectoriales